Ausmessung des Kreises.
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len ausgedrückt kleiner sein würde, als jede noch so kleine
dekadische Brucheinheit.
b. Daß bei fortgesetzter Verdopplung der Seitenzahl der
kleine Halbmesser wachse/ ergiebt sich aus (VI. Anh. §. 4.)j
und daß er/ wenn man den Halbmesser des Kreises — i
setzt/ dennoch stets kleiner als i bleibt/ ergiebt sich aus dem
bloßen Begriffe desselben. Daß endlich der Unterschied zwi
schen dem kleinen Halbmesser nnd i einmal kleiner werden
müsse/ als jede gegebene Größe/ läßt sich auf folgende Art
beweisen. Wenn in (Fig. 156.) DC der kleine Halbmesser
irgend eines inneren Polygons/ und AE die Seite eines
Polygons von der doppelten Seitenzahl ist/ so verhalt sich
(nach XIII. 2.) OE : XE --- AE : ED, d. i./ wenn matt
AE — s und DC =S q setzt/ 2 : s = s : 1 — Also
ist 1 —. ^ 88. Da nun 8/ und noch vielmehr 88
und j 85/ über alle Gränzen nach (a) abnehmen kann/
so kann auch i — q kleiner werdett/ als jede noch so kleine ,
gegebene Größe. Berechnete man also nach (§. 1.) den
kleinen Halbmesser des Sechsecks auf eine beliebige Anzahl
von Bruchstellen/ die wir n + i setzen wollen/ und setzte
dann die Rechnung nach (§. 3. und 4.) auf eben so viele
Bruchstellen fort/ so müßte man nothwendig einmal auf
ein Polygon kommen/ bei welchem der Zahlenwerth des klei
nen Halbmessers/ nach dem Komma n Neunen/ und erst in
der (n + i)ten Stelle eine andere Ziffer hätte/ so daß
sein Unterschied von i kleiner wäre/ als eine Brucheinheit
der »ten Stelle.
c. Daß endlich auch der Unterschied der Fläche eines inneren
Polygons und der Kreisfläche kleiner werden könne/ als jede
gegebene Größe/ läßt sich auf folgende Art darthun. Wenn
wir die Fläche eines inneren Polygons E eines äußeren f>
und den kleinen Halbmesser des inneren Polygons $ nen
nen/ so ist nach (§. 7.) — E; also t' — — 1 — E,
oder f — F * f (i — e(0 = f (i + (0 (i — p). Da
nun f bei jeder Verdopplung der Seitenzahl abnimmt; i -h ?
aber sich der Größe 2 nähert/ ohne sie zu erreichen; i — i>
endlich nach (b) ohne Ende abnimmt/ so ist deutlich/ daß
auch f — F ohne Ende abnehme/ und kleiner werden könne/