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Sechzehnter Abschnitt. 
als die Hälfte ab/ so muß der Rest EA kleiner sein als 
der Rest IM. Nimmt man ferner von EA die Hälfte EE, 
von IM aber wieder einen Theil IE/ also weniger als die 
Hälfte ab/ so ist der Rest AE kleiner als der Rest KM, 
und so ferner. 
Es mögen nun der Theile auf UM so viele sein, als man 
will, so wird man diese Schlüsse jederzeit so weit fortsetzen 
können, bis auf UM nur noch zwei Theile LE und EM 
übrig sind. Ist nun der auf AB hiezu gehörige Rest AE, 
so ist erwiesen, daß AE c km. Nimmt man also endlich 
von jeder dieser beiden Linien die.Hälfte ab, so bleiben 
AG und EM/ und es ist AG < EM, also auch AG < CD, 
was zu erweisen war. 
§.2. Z u s a tz. 
Nimmt man also von irgend einer Größe die Hälfte 
ab, vom Rest wieder die Hälfte, und so immer fort, so 
kann man in jedem Fall zuletzt zu einem Rest gelangen, 
der kleiner ist als jede gegebene, noch so kleine gleichar 
tige Größe. 
Noch vielmehr aber hat dieses seine Richtigkeit, 
wenn man von der Größe mehr als die Hälfte, vom 
Reste wieder mehr als die Hälfte, u. s. f. abnimmt. 
§. Z. L e y r s a tz. 
Wenn man in einem bei A rechtwinkligen £)med: 
ABC (Fig. 163.) einen der spitzigen Winkel ACB durch 
die Linie CO halbirt, und in D die Linie DE winkel- 
recht auf CD errichtet, so ist im Dreieck CDE der Un 
terschied der Hypotenuse CE nnd der Kathete CD noch 
nicht halb so groß, als in dem Dreieck ACB der Un 
terschied der Hypotenuse CB und der Kathete CA.