Ausmessung von Bogen und Kreisstucken. 269 
Beweis. Aus C beschreibe man mit dem Halbmesser CA den 
Bogen AF, so ist FB (= BC - FC = BC - AC) der 
Unterschied der Hypotenuse CB und der Kathete CA im 
Dreieck ABC. Man beschreibe ferner aus C mit dem Halb 
messer CD den Bogen BG, so ist EG (= CE — GC = 
CE — CB) der Unterschied der Hypotenuse CE und der 
Kathete BC im Dreieck CBE. Es ist also zu beweisen, 
daß EG in jedem Falle kleiner sei als i BF. 
Zum Beweise ziehe man FB, so ist die Congruenz der Dreiecke 
CBA und CBF aus (III. 6.) leicht zu erweisen. Daraus 
folgt aber, daß CFB = CAB ein rechter Winkel, also 
BF eine Tangente (VII. i. 2.), auch BF --- DA sei. In 
dem bei F rechtwinkligen Dreieck BFB ist nun BB FB 
(III. 11.), also auch BB > AB. Man ziehe nun die 
Sehne AF, welche von CB winkelrecht geschnitten wird 
(VI. io. und 9.), also mit EB parallel ist. Nun verhält 
sich nach (XII.3. und4.) AB : BB — FE : EB, Da nun 
aber erwiesen worden, daß AB ■< BB, so ist auch FE < 
EB, folglich EF kleiner als die Hälfte von FB. Da nun 
EG nur ein Theil von EF, also kleiner als EF ist, so ist 
noch vielmehr DG kleiner als die Hälfte von B; was zu 
erweisen war. 
§.4. L e h n s a tz. 
Wenn mau aus der Spitze eines Winkels ACB 
(Fig. 164.) einen Kreisbogen AB zwischen seinen Schen 
keln beschreibt, und in dem einen Endpunkte A des Bo 
gens eine Tangente AD bis zur Verlängerung des an 
deren Schenkels errichtet, so nennt man diesen zwischen 
den Schenkeln enthaltenen Theil AD der berührenden 
Linie, die Tangente des Bogens AB, oder des 
Winkels ALB. 
Anmerkung. In mathematischen Schriften braucht man 
die Benennung Lehnsatz von Sätzen, die aus einem an 
Lern Abschnitte entlehnt sind, d.h. dem Inhalte nach in 
einen andern gehören, als wo sie stehen. Sie bezieht sich da-