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Anleitung 
Linien FG, GH, HE, EF verbunden; es ist zu beweisen 
3) daß FGHE ein Parallelogramm ist, und b) daß es halb 
so groß als das Viereck ABDC ist. Zieht man die Dia 
gonalen AC und BD, so ist, da in dem Dreieck ABC 
BK : BF = BC : BG = 2 : 1, die Linie FG mit der 
Diagonale AE parallel (XII. 7.). Eben so wird auch be 
wiesen, daß EH mit AE parallel ist/ woraus die Paral 
lelität von FG und EH folgt. Auf gleiche Weise wird ge 
zeigt/ wie sowohl EF als GH mit HB, also unter sich 
parallel sind, woraus (3^ folgt. 
Um (b) zu beweisen, erwäge man, daß durch AE das Paral 
lelogramm FH in zwei andere FK und KE getheilt wird, 
von denen nach dem vorigen §. FK — \ ABE und KE 
— ^ AHE sein muß; woraus sich die Größe des Ganzen 
in Beziehung auf das gegebene Viereck ergiebt. 
§. 13. Aufgabe. 
Ein gegebenes gleichschenkliges Dreieck irr ein gleich 
seitiges von demselben Flächeninhalt zu verwandeln. 
Analysis. Man nehme an, das Dreieck HEF (Fig. 177.) 
sei daS gesuchte gleichseitige Dreieck, und an Flächeninhalt 
dem gegebenen gleichschenkligen ABE gleich. Zieht man 
nun HB, und verlängert diese Linie bis G, so steht sie win 
kelrecht auf AE, und wenn man aus A und E Parallelen 
zieht mit EH und FH, die sich in H schneiden, so ist AHE 
auch gleichseitig/ und der Punkt H liegt in der Verlänge 
rung von GH. 
Da nun HG die Dreiecke HEF und ABE halbirt/ so ist das 
Dreieck HEG — ABG, also ist auch HG x GE = AG x GB, 
woraus die Proportion folgt BG : GH — EG : GA. Da 
aber EH und AH parallel sind/ so ist auch 
EG : GA — HG : GH. Daher ist nun 
BG : GH ---- HG : GH; mithin GH die mittlere 
Proportionale zwischen BG und GH; welche Linien beide 
durch Zeichnung gefunden werden können. ES kann also 
der Punkt H gefunden werden, also auch die Linie HE und 
HF, welche den Linien AH und HE parallel sind; das 
Dreieck EHF kann demnach gezeichnet werden.