Gleichheit der Parallelogramme und Dreiecke. 59 
Denn jede der beiden Hälften (Fig. 55.) besteht aus drei 
Dreiecken, welche, paarweise verglichen, congruent sind; 
woraus sich die Gleichheit aller einzelnen Winkel und Sei 
ten der Vierecke in der Ordnung, wie sie auf einander fol 
gen, beweisen läßt; so daß beide, gehörig aufeinander ge 
legt, sich decken würden. 
§.12. L e h r s a tz. 
Wenn eine Linie aus zwei Stücken besteht, so ist 
ihr Huadrat so groß, wie die Quadrate beider Stücke, 
nebst dem doppelten Rechteck aus beiden Stücken. 
Es sei (Fig. 56.) AC = AB + BC. Man zeichne das Qua 
drat von AC, nämlich AD. Man mache AE = AB und 
ziehe BF mit CD, EG mit AC parallel. 
Wenn sich diese Linien in H schneiden, so ist zuerst klar, daß 
AD in vier Parallelogramme (IV. 6.) und namentlich in vier 
Rechtecke (IV. ii.) getheilt sei. Hieraus übersieht man leicht, 
welche Linien der Figur — AB und welche — BC sind. 
Dann läßt sich zeigen, daß AH und HD die Quadrate von 
AB und BC (IV.i3.undl7.3-), EF und BG aber Rechtecke 
aus AB und BC sind (IV. l4. und 17. b.). 
Hieraus ergiebt sich, daß: 
AC 2 = AB- + BC- + 2 [AB X BC]. 
Anmerkung. Die Ähnlichkeit dieses Satzes mit der arithme 
tischen Formel (a + b) 2 = a 2 -+■ 2ab -+■ b 2 wird je 
dem, der mit der Buchstabenrechnung schon bekannt ist, ein 
leuchten. In dem Abschnitte von der Ausmessung der Fi 
guren wird ihr innerer Zusammenhang deutlich werden. 
§.13. Lehrsatz. 
Wenn man von einer Linie ein Stück abschneidet, 
so erhalt man das Quadrat des Restes, wenn man 
von der Summe der Quadrate der Linie und des ab 
geschnittenen Stückes das doppelte Rechteck aus der 
Linie und dem abgeschnittenen Stücke hinwegnimmt.