ÜBER ALGEBRAISCH INTEGRIRBARE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 83 
Wie mit Hülfe der Gleichung («.) die algebraische Natur der Integrale der 
Gleichung (A.) zu erweisen ist, findet sich am angeführten Orte nur ange 
deutet. Indem wir auf diesen Nachweis hier des Näheren eingehen, wollen 
wir zwei \erfahrungsarten entwickeln, welche auf verschiedenen Principien 
beruhen und, wie es scheint, ein über den vorliegenden Zweck hinausreichendes 
Interesse darbieten. 
1. 
Wir schicken einige Sätze voraus, welche wir im Folgenden verwenden 
wollen. 
I. Sind w t , w 2 , w s die zu y^y^y z adjungirten Functionen, so hat 
das Bestehen der Gleichung (B.) zur Folge, dass w i ,w o ,w 3 einer 
homogenen Relation mit constanten Coefficienten genügen. 
Denn durch Differentiation nach z folgt aus (B.) 
(1.) 
fxtfx + Uy’i + Uy’* = °> 
= gesetzt ist. Ausserdem ist 
[471 
(2.) 
UVi + Uyt + Uy» = °* 
Eliminiren wir aus (l.) und (2.) successive f a und /* 2 , so ergiebt sich 
(3.) 
(4.) 
/>,-/>! = 0, 
= °- 
Aus den Gleichungen (B.), (3.), (4.) ergiebt sich durch Elimination von y t , y 2 , y z 
eine homogene Relation zwischen w t , w 2 , mit constanten Coefficienten. 
Ist n> 2, so ist auch der Grad der zwischen «ü a , w 3 stattfindenden 
Relation grösser als 2. 
II. Es sei die Differentialgleichung 
y m + p 1 y im 1)j i-”‘+V m y = 0 
(5.) 
irreductibel und die Integrale derselben überall bestimmt*). 
Es seien überdies die Zweige eines Integrals y derselben, bis auf 
constante Factoren, von endlicher Anzahl, so besitzt dieselbe 
*) Boechakdts Journal, Bd. 66, S, 146, Gleichung (12.) 1 ). 
i) Abh. VI, S. 186, Band I dieser Ausgabe. E. F. 
11*