(14b.) 
d log 
de ’ 
wo ^ Wurzel einer rationalen Function bedeutet. Aber da u s auch ein Zweig 
der Function u 2 ist, so müsste aus demselben Grunde 
(14c.) 
u, = 
d log 
dz ’ 
wo c[; 2 Wurzel einer rationalen Function, sein. Aus den Gleichungen (14a.) 
bis (l4c.) ergäbe sich aber, dass der Zweig also aus demselben Grunde 
alle Zweige der Function u x , die logarithmischen Ableitungen von Wurzeln 
rationaler Functionen, und demnach die Integrale von (A.) Wurzeln rationaler 
Functionen wären, was ausgeschlossen ist. 
Wenn es nur zwei Zweige der Function u x gäbe, so müsste 
(16.) . = a 0 + a x \Jli 
"i 
sein, wo a o , R rationale Functionen von z. Hieraus würde sich ergeben 
(17.) £- = h + b^ß, 
wo b o , b x rationale Functionen. Aus (16.) und (17.) würde folgen, dass y x 
einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit rationalen Coeffi- 
cienten genügte, was der vorausgesetzten Irreductibilität der Gleichung (A.) 
widerspricht. 
Demnach kann Gleichung (6.) für einen von Null verschiedenen Werth 
von M nicht bestehen. Ebenso aber würden wir nachweisen, dass die Glei 
chung (6a.) für einen von Null verschiedenen Werth von M t auf einen 
Widerspruch führt. Da aber, wie oben gezeigt, M und M t nicht gleichzeitig 
verschwinden dürfen, so ergiebt sich, dass die Annahme, dass die Gleichung 
(2.) identisch für von einander unabhängige Werthe der Variablen #, vj be 
stehe, mit den über die Gleichungen (A.) und (B.) gemachten Voraussetzungen 
476] unverträglich ist. Die Gleichung (2.) setzt vielmehr die Variable Y] in 
Abhängigkeit von der Variablen #, und da diese Abhängigkeit eine alge 
braische ist, so folgt unter Berücksichtigung der Gleichung (ß.) der Satz: