ÜBER ALGEBRAISCH INTEGRIRBARE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
89 
Wenn die Gleichung (A.) die Relation (B.) zulässt, und wenn 
ausserdem bekannt ist, dass die Zweige eines Integrals derselben, 
bis auf constante Factoren, von endlicher Anzahl sind, so ist 
die Gleichung (A.) algebraisch integrirbar. 
3. 
Es sei 
(!•) y (ra) + p t y m ~ 15 + -”+p m y = o 
eine beliebige lineare, homogene Differentialgleichung, und es seien a , a 2 ,..., a 
gegebene constante Werthe. Ist 8 eine Substitution der zur Gleichung (l.) ge 
hörigen Gruppe, und sind a. k deren Elemente, so wollen wir von den Ausdrücken 
(2.) «*=«*!«!+ «fa «2+ ••• + a km a m 
sagen, sie seien durch Transformation aus vermittelst der Sub 
stitution 8 entstanden. Nehmen wir an, dass die durch die Gesammtheit 
der Substitutionen der Gruppe entstandenen transformirten Werthsysteme, bis 
auf einen allen Elementen je eines Systems gemeinschaftlichen Factor, von 
endlicher Anzahl sind, nämlich übereinstimmend mit einem der Werthsysteme 
(3.) (?»«?, htf' (» = o,i,...,r-i, 4» = «*) 
Betrachten wir die Function 
(4.) W = + + + 
wo w 2 , ..., w m ein Fundamentalsystem von Integralen der zu (1.) ad- 
jungirten Differentialgleichung bilden. 
Vollzieht z einen Umlauf, welcher der Substitution 8 entspricht, so ver 
wandelt sich W in 
( 5 -) W 7 = jjtiM Ä xiWt + Ai 2 w 2 + --- + A Zm iV m ), 
1 
wo A kl die Unterdeterminante erster Ordnung der Determinante | a a | bedeutet, 
welche zu a u gehört. Es ist übrigens 
(ö.) Det | a kl | = j~\ 
Unter den Systemen (3.) giebt es der Voraussetzung nach ein solches [477 
(WVXV--,£ für welches 
= h K;i a \ + a 02 a< 2 ] 4 + a rm a m] 
(7.) 
Fuchs, mathem. Werke. III. 
0 = 1,2 
12