ÜBER ALGEBRAISCH INTEGRIRBARE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 91
4.
Es sei a ein endlicher oder ein unendlich grosser Werth von in dessen
Umgebung das Integral
J = J'üdz
eine eindeutige Umkehrung nicht zulässt, und es sei 73 = «, C = ß eine Stelle
der EiEMANNSchen Fläche (B.), welche auf einem gewissen Wege der Variablen
z für z = a erreicht wird. Wenn durch alle möglichen Umläufe der Variablen
z der Stelle (a,/3) unzählig viele von einander verschiedene Stellen
derselben Fläche zugeordnet würden, so gäbe es unter diesen auch unzählig
viele, für welche K{i3) weder unendlich noch Null würde, da Fl (73) eine alge
braische Function. In diesen Stellen würde sich aber z als Function von 73
verzweigen. Wir dürfen nun voraussetzen*), dass z eine einwerthige Function
von (73, C) ist; eine solche Function kann sich aber nur in den Verzweigungs
punkten der Fläche (B,), also nur in einer endlichen Anzahl von Stellen
dieser Fläche verzweigen. Giebt es also Werthe z — a, in deren Umgebung
J nicht eindeutig umkehrbar wäre, so könnte der Stelle (cc,ß) durch die Ge-
sammtheit der Substitutionen der zur Gleichung (A.) gehörigen Gruppe nur
eine endliche Anzahl von Stellen zugeordnet werden, und es wäre nach
Satz II., No. 3 die Gleichung (A.) algebraisch integrirbar.
Giebt es solche Werthe a nicht, alsdann ist**) z eine eindeutige Function
von /, welche entweder rational oder einfach, oder endlich doppelt periodisch
ist. Da z für ein gegebenes 73 nur eine endliche Anzahl von Werthen an
nimmt, so müsste in dem Falle, dass z eine rationale Function von J würde,
das Integral
eine algebraische Function von 73, und demzufolge z eine algebraische Func
tion von 73 sein. — Ist z eine einfach oder doppeltperiodische Function von
*) Acta math., S. 337, Satz VI v ).
**) Bbiot et Bouquet im Journal de l’École Polytechnique, cah. 36, S. 217.
i) Àbh. XL, S. 314, Band II dieser Ausgabe. E. F.
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