Full text: Abhandlungen (1888 - 1902) und Reden (3. Band)

ÜBER ALGEBRAISCH INTEGRIRBARE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 91 
4. 
Es sei a ein endlicher oder ein unendlich grosser Werth von in dessen 
Umgebung das Integral 
J = J'üdz 
eine eindeutige Umkehrung nicht zulässt, und es sei 73 = «, C = ß eine Stelle 
der EiEMANNSchen Fläche (B.), welche auf einem gewissen Wege der Variablen 
z für z = a erreicht wird. Wenn durch alle möglichen Umläufe der Variablen 
z der Stelle (a,/3) unzählig viele von einander verschiedene Stellen 
derselben Fläche zugeordnet würden, so gäbe es unter diesen auch unzählig 
viele, für welche K{i3) weder unendlich noch Null würde, da Fl (73) eine alge 
braische Function. In diesen Stellen würde sich aber z als Function von 73 
verzweigen. Wir dürfen nun voraussetzen*), dass z eine einwerthige Function 
von (73, C) ist; eine solche Function kann sich aber nur in den Verzweigungs 
punkten der Fläche (B,), also nur in einer endlichen Anzahl von Stellen 
dieser Fläche verzweigen. Giebt es also Werthe z — a, in deren Umgebung 
J nicht eindeutig umkehrbar wäre, so könnte der Stelle (cc,ß) durch die Ge- 
sammtheit der Substitutionen der zur Gleichung (A.) gehörigen Gruppe nur 
eine endliche Anzahl von Stellen zugeordnet werden, und es wäre nach 
Satz II., No. 3 die Gleichung (A.) algebraisch integrirbar. 
Giebt es solche Werthe a nicht, alsdann ist**) z eine eindeutige Function 
von /, welche entweder rational oder einfach, oder endlich doppelt periodisch 
ist. Da z für ein gegebenes 73 nur eine endliche Anzahl von Werthen an 
nimmt, so müsste in dem Falle, dass z eine rationale Function von J würde, 
das Integral 
eine algebraische Function von 73, und demzufolge z eine algebraische Func 
tion von 73 sein. — Ist z eine einfach oder doppeltperiodische Function von 
*) Acta math., S. 337, Satz VI v ). 
**) Bbiot et Bouquet im Journal de l’École Polytechnique, cah. 36, S. 217. 
i) Àbh. XL, S. 314, Band II dieser Ausgabe. E. F. 
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