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ÜBER ALGEBRAISCH INTEGRIRBARE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
xf*L *./•-* x*r*L 
(17.) y x = Se J 0 , y 2 = Se J 0 , y z = 0<? J 6 , 
wo A der Gleichung 
(11a.) A 3 + y 2 — 0 
genügt, und wo s eine primitive dritte Wurzel der Einheit bedeutet. Die 
drei Integrale y x , y %i y 3 bilden ein Fundamentalsystem. 
Aus der zweiten der Gleichungen (5.) oder aus 
■^3 Tz ^0 
folgt 
0 t3) 0' v 
(1®*) 0 + + r ~ e»” 
Demnach ist 0 3 eine rationale Function, woraus sich ergiebt, dass die 
Integrale y ti y 2 , y z für alle Umläufe der Variablen #, bis auf constante Factoren, 
sich nur unter einander vertauschen. In der That ist auch 
(19.) y,y 2 y 3 = 0 3 . 
483] Wir sind also wieder auf die Gleichung (12a.) N0. 2 gekommen, wenn 
wir (J; = 0 3 setzen. Sei 
(20.) 
A _0(_ 
0 + 0 7 Ma 
As 0' 
W + ~0~ 7 
so ist nach Gleichung (14a.) N0. 2 
(21.) u % + u t 
d log 0 2 
dz ' 
Hieraus folgt 
(22.) 
= 0, 
also A = 0, d. h. nach Gleichung (11a.), y a = 0 ; was nicht möglich ist. 
Demnach ist der oben mit II. bezeichnete Fall, dass die Gleichung (2.) 
identisch für die unabhängigen Variablen z, 7] erfüllt sei, mit den über Glei 
chung (A.) gemachten Voraussetzungen unverträglich. Es ist demnach nur 
der mit I. bezeichnete Fall zulässig, d. h. die Gleichung (A.) ist alge 
braisch integrirbar.