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ÜBER EINE ABBILDUNG DURCH EINE RATIONALE FUNCTION. 
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wo r, r t die Moduln, cp, cp 4 die Argumente von w, bedeuten. Auf der 
Peripherie jedes mit dem Radius r um den Nullpunkt beschriebenen Kreises 
К suchen wir diejenigen Stellen auf, für welche 
(2.) 
Aus (1.) ergiebt sich, wenn r constant und cp veränderlich angenommen wird, 
in der Bezeichnung der Gleichung (s.), 
(3.) 
T»/ 4 1 dr. . 
P(lV, W.) 7^* + 
r, d'p 
d<? i 
dcp 
= 0. 
Es giebt nur eine endliche Anzahl von Kreisen K ri auf deren Peripherie 
P{w i u , l ) unendlich wird. Demnach folgt aus Gleichung (3.), dass ~ längs 
der Peripherie K r im Allgemeinen eine stetige Function von cp ist, und da 
i86] r längs K r Maximal- und Minimalwerthe annimmt, so folgt, dass im All 
gemeinen auf jedem Kreise K r Stellen vorhanden sind, welchen Wurzeln der 
Gleichung (2.) zugehören. Wir bezeichnen diese Stellen mit m r , m , m r) ... . 
Die Gleichung (3.) ergiebt, dass in allen diesen Stellen P(w, wj reale Werthe 
erhält. Aus derselben Gleichung folgt umgekehrt, dass, wenn P(?^,w i ) in 
einem Punkte der Peripherie K r real und endlich ist, dieser Punkt zu den 
Stellen m ri m r , m', ... gehört. 
Bezeichnen wir daher mit diejenige Function von w 1 w , welche 
aus cjhervorgeht, wenn die Coefficienten der letzteren durch ihre con- 
jugirten Werthe ersetzt werden, und mit w\ w[ die conjugirten Werthe resp. 
von w und w ti so folgt aus den eben gemachten Schlüssen, dass die Werthe 
von r ti cp l? cp, welche den Stellen m r , m', m", .,. entsprechen, durch die Glei 
chung (1.) und die Gleichungen 
(la.) 
und 
(4.) 
= о 
P{w,w 1 ) = P t (w' } w[) 
bestimmt werden, wenn wir unter P x (w, u\) diejenige Function verstehen, 
welche aus P(w,wJ dadurch hervorgeht, dass die Coefficienten der letzteren 
durch ihre conjugirten Werthe ersetzt werden. Es ergeben sich hiernach 
eals algebraische Functionen von r. Hierdurch wird auch P{w 1 w i )