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UBER EINE ABBILDUNG DURCH EINE RATIONALE FUNCTION.
Es folgt hieraus zunächst, dass G(r 9 r x ) nicht durch eine Potenz
von r x — r theilbar sein darf.
Ist nämlich w — p r ein solcher Punkt der Peripherie К des Kreis-
continuums, von welchem in No. I die Pede war, zu dem ein auf derselben
Peripherie gelegener Punkt w x — q r gehört, so würde die Voraussetzung, dass
G{r,r t ) durch eine Potenz von r — r x theilbar sei, zur Folge haben, dass die
stetige Peihe der Punkte p r eine Curve A bildete, welche zu den Curven des
Systems Г gehörte und für welche ~ = 1 wäre. Nach Gleichung (2.) müsste
dann P(w 9 w x ) für alle Werthe w der Curve A, also nach einem bekannten
Satze überhaupt in der ganzen w-Ebene gleich der negativen Ein
heit sein. Es wäre also
бф ôü
■,- L w + w.
ow äiv 1 1
= 0,
was zur Folge hätte, dass fy[iv,w x ) durch einen Linearfactor w x — cw mit con
stantem c theilbar wäre. Dieses ist aber nicht möglich, weil W J nicht
für w — 0, w x = 0 verschwindet.
Setzen wir daher in Gleichung (5.) voriger Nummer r — r, so erhalten
wir eine wohlbestimmte algebraische Gleichung
(4.) H(r) = 0.
Ist r gleich einer realen Wurzel dieser Gleichung, so fallen die Punkte w l9
welche den Stellen m r9 m r9 m’ r9 ... auf der Peripherie FC zugehören, theilweise
oder ganz auf dieselbe Peripherie.
i ss] Der Padius des Grenzkreises ist daher mit der kleinsten realen
Wurzel der Gleichung (4.) übereinstimmend.
Ist r — a eine reale Wurzel der Gleichung (4.) und w = p eine der
jenigen Stellen m a9 m a , m" a , ..., denen auf der Peripherie K a Werthe w x zu
gehören, und setzen wir zunächst voraus, dass nicht ~ d ~ und für r = r x — a
verschwinden, so folgt aus den Gleichungen (2.) und (3.), dass P(w,w x ) in
ft gleich der positiven Einheit ist.
Ist a — R der Padius des Grenzkreises, so bleibt dieses auch bestehen,
wenn ~W> ~dr~ r = r x — R verschwinden würden. Es ist nämlich in diesem
Falle, wenn FT(r) die Ableitung von H(r) bedeutet, wegen der Symmetrie
von G{r,r x ) in Bezug auf r und r t auch H\R) = 0. Ist Д die Discriminante
