126 
ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
befriedigt, wo A h . eine eindeutige Function von 
x, x 2 , . .., X^_ x , y, y ix y 2: . 2/ a _ 1 
bedeutet. 
Aus den Gleichungen (A.) und (B.) folgt, dass die sämmtlichen Ab 
leitungen jeder gemeinschaftlichen Lösung derselben nach den Variabeln 
x, x x , x 2 , ..., x als lineare homogene Functionen der m — 1 ersten Ab- 
165] leitungen dieser Lösung nach x darstellbar sind, deren Coefficienten ein 
deutige Functionen von 
3", ä/j, ^2 7 * * *7 ^-\)-17 2/j 
2/27 • ■ • 7 
So 
ergiebt sich z. B. : 
(l.) 
d a £ TMi) . -nih dz 
dx[ ~ + äF + ' 
+ 0 . 
(fl = 1, 2, ...,w) 
Aus diesen Gleichungen erhalten wir durch Elimination von 
eine Gleichung 
(A.) 
dz ö 2 z d m ~ l z 
dx ’ dx* ’ ’ ~dx m ~ 1 
d m 8 d m ~ x z 
~dxf + Tl dx?- 1 
+ ’ • • + r 'm Z 
7 
deren Coefficienten r', r', ..., r' m eindeutige Functionen von 
x, x x , x 2 , ..., 2/, Vn •••; 2L-1 
sind. 
Es genügt daher z auch als Function von x x einer gewöhn 
lichen linearen homogenen Differentialgleichung mit Coeffi 
cienten von derselben Natur, wie r, r. 
7 1 7 2 7 7 m 
Selbstverständlich kann das System (1.) auch so beschaffen sein, dass die 
Ordnung der Differentialgleichung (A'.) niedriger als die m te wird. Dieses 
würde geschehen, wenn die Determinante 
| f>(k) 1 / v = 1, 2,..m —1\ 
1 i ir 1 [11 = 
verschwindet. 
Im Allgemeinen also wird die Ordnung der Gleichung (A'.) die m iei 
sein, und es wird das System der Gleichungen (1.) für y = 1, 2, ..m — 1 die 
Auflösung nach •• •? gestatten, und namentlich: