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ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
Nach voriger Nummer Satz II. ist die nothwendige und hinreichende Be 
dingung dafür, dass das System (1.) bis (3.) gemeinschaftliche Lösungen hat, 
die, dass die Substitutionen, welche die Integrale der Gleichung (4.) erleiden, 
von y unabhängig sind, wenn x solche Umläufe vollzieht, für welche auch | 
seinen anfänglichen Werth wiedererhält. 
Die Gleichung (3.) ist eine Folge der Gleichungen (1.) und (2.) oder (4.) 
und (5.). Differentiiren wir in der That die Gleichung (5.) nach y und 
Gleichung (2.) nach x und berücksichtigen (1.) und (2.), so ergiebt sich: 
(3a.) 
d 2 z dz dz 
~df = C °^ + Gl Jx +C2 ly i 
wo: 
(6.) 
c 0 = 
1 
'db 0 
do 0 
a 2 
. dx 
dy 
1 
' db 1 
da t 
a 2 
_ dx 
dy 
1 
db 2 
da 2 
a 2 
. dx 
dy 
~ + h 0 b 2 + a 0 b 1 -a i b 0 
+ a 2 h x — b 2 ~a 0 + bl 
Aus der Differentiation von (3 a.) nach y und nachheriger Elimination von 
und - mit Hülfe der Gleichungen (2.) und (3a.) folgt: 
(4a.) 
d 5 z 
' d log c t 
dy 3 
- dy 
+ + c 2 
d 2 z 
'de. 
dy 2 
dy 
[ dc 0 
. dy 
d los; c, 
+ c n C 9 —c t b t 
du 
d log c 1 
dy 
dz 
dy 
0. 
Schreiben wir Gleichung (3a.) in der Form: 
(5a.) 
dz 
dx 
c 2 dz 1 ö 2 z 
c t dy + c, dy 2 ’ 
so sind die Gleichungen (4a.) und (5a.) mit den Gleichungen (4.) und (5.) 
aequivalent. Das Vorhandensein gemeinschaftlicher Integrale der beiden er- 
steren ist mit der Unabhängigkeit von x derjenigen Substitutionen überein- 
171] stimmend, welche ein geeignetes Fundamentalsystem von Integralen der 
Gleichung (4a.) erleidet, wenn y solche Umläufe vollzieht, die auch £ in 
seinen Anfangswerth zurückführen. Übrigens fällt (in Übereinstimmung mit 
N0. 6) dieses Fundamentalsystem mit dem oben erwähnten Fundamentalsystem 
. von Integralen der Gleichung (4.) zusammen.