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UBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
so folgt: 
(9.) 
d* z d 2 z dz dz 
dx* a& dxdy A 8 dx + C ® dx 8 ^‘ 
Eliminiren wir zwischen (1.), (8.) und (9.) -¿-ß— und so erhalten wir 
für z die Differentialgleichung vierter Ordnung nach der Yariabeln x: 
d s z 
dx* dx 3 
d*z 
dx 4 
d*z 
dx dy 
dz 
dy 
d 2 z 
dx 2 
dz 
dx 
(cc.) 4-r- + P. + P« -v-v + P* -v 1 - + P A z — 0. 
Eliminiren wir -¿-¿¡7 zwischen (l.) und (8.), so folgt: 
(/3.) 
„ .dz . d 2 z . dz 
A °* + Al dx + A * dx 2 + As dx 3 
Die Coefficienten der Gleichungen (a.) und (ß.) setzen sich aus den Co- 
efficienten der Gleichungen (1.) und (2.) und aus ihren Ableitungen rational 
zusammen. 
Demnach fallen die Gleichungen (1.) und (2.) in die Kategorie der in 
Ko. 6 discutirten Systeme (S). Die Gleichungen (a.) und (ß.) sind besondere 
Fälle der Gleichungen (A 2 .) und (B 8 .). 
Von den Ausnahmefällen heben wir hier nur den Fall hervor, dass: 
(10.) 1 — aa t = 0, 
176] welcher entweder auf das System (1.), (2.), (3.) N0. 7 zurückführt oder, 
W T enn wir: 
32 „ 32 .. 3- 3« 
dz — P, 
d t z = Q 
d 2 z 
d 2 z 
- h ds 
dz 
dx 2 
a dxdy 
° dx 
C dy 
d 2 z 
d 2 z 
, dz 
dz 
dy 2 
a * dxdy 
1 dx 
C * dy 
setzen, erforderlich macht, dass identisch für jede Function 0 von a;, y 
+ <4« = 0 
dy dx 
sei. 
Nach einem von Herrn Picard*) in besonderen Fällen angegebenen Ver 
fahren lässt sich zeigen, dass die eindeutigen Functionen x und y zweier 
*) Liouyille, Journal, sér. IV, T. 1 (1885), p. 112-118.