ZUR THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
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worin willkürliche Grössen, l a positive ganze Zahlen bedeuten. Nach 
dem Zusammenhänge, welcher aus der Theorie der Zerlegung einer rationalen 
Function in Partialbrüche zwischen den Grössen CJJ 5 und den Werthen cpf (a ) 
sich ergiebt, folgt daher, dass auch ^(aj für X = 0,1,...,/; B = 0,1,. 
a = 1,2, willkürlich vorgeschrieben werden dürfen. Ist daher X = l a 
mindestens so gross als der höchste Index X der im Gleichungssystem (9.) für 
a — a a auftretenden Grössen ( a 0 )» 80 ergiebt sich demnach, dass wir stets 
n ganze rationale Functionen r f 0 (x), ^(¿c), . .., y n _X x ) von der Be 
schaffenheit angeben können, dass (aj den {p i0 +p 22 -\ hp n2 ){n — 1) 
Gleichungen genügt, die sich aus (9.) für a = a 2 , ..a t) ergeben, 
wenn p a2 für den singulären Punkt a a dieselbe Bedeutung hat wie 
oben allgemein p 2 für den singulären Punkt a. 
Da die Wurzeln der zu a a gehörigen determinirenden Fundamental 
gleichungen sich nicht um ganze Zahlen unterscheiden, und da die höheren Ab 
leitungen die noch nicht im Gleichungssystem (9.) (für a = a 1 , a 2 ,..., a o ) 
auftreten, ebenfalls willkürlich wählbar bleiben, so ergiebt sich, dass daher 
<p 0 (a), ^(¡r), <p n -i( x ) noch so gewählt werden können, dass in u ax (dem Re 
sultat der Substitution von y ax für y in (2.)) nicht höhere Potenzen von 
x — a a verschwinden, als es die Gleichungen (9.) erfordern, so dass die realen 
Theile der Wurzeln der sämmtlichen zu « 2 , a gehörigen determinirenden 
Fundamentalgleichungen bei der Gleichung (3.) zwischen Null und der nega 
tiven Einheit liegen. 
Hiermit ist das am Eingänge dieser Nummer ausgesprochene Theorem 
bewiesen. 
Für den Fall, dass bei Gleichung (l.) unter den Wurzeln der zu a a ge 
hörigen determinirenden Fundamentalgleichung eine solche sich befindet, deren 
realer Theil ganzzahlig, also unter den Wurzeln der entsprechenden Funda 
mentalgleichung bei (3.) eine solche, deren realer Theil Null, wenden wir 
auf Gleichung (3.) die Substitution 
(11.) u = (x — a 1 ) £l (x — a 2 f 2 ...(x — a Q f Q w 
an, wo £ a eine reale positive zwischen Null und Eins gelegene Grösse be 
deutet, von der Beschaffenheit, dass r — e , r — £,..., r —£ noch immer fnai 
zwischen Null und der negativen Einheit gelegene reale Theile haben, während