NOTE ZU DER ARBEIT XXIV.
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stände von 7z, s. B. p. 24 1 ), und es findet zwischen diesen Werthen die
Gleichung
(1.)
u
statt, wo y{q) eine nach positiven ganzen Potenzen von q fortschreitende
Reihe bedeutet (s. B, p 25 GL (2.) 2 )).
Setzen wir die durch die Gleichung (1.) definirte Function u von H in
der nach der positiven Seite der realen Axe gelegenen Halbebene der Variablen
H gemäss der Gleichung
du u (u — 1) y¡j
(2.)
dH
fort, so können wir für einen endlichen, ausserhalb der lateralen Axe ge
legenen Werth von H nicht zu einem der Werthe u — 0, 1, oo gelangen, da
gemäss der Gleichung
(3.)
welche sich mit der functionalen Beziehung (2.) deckt, für u — 0, u — 1 [162
der Punkt H auf die laterale Axe entfällt, und für u — 00 der Punkt H ent
weder ebenfalls auf die laterale H-Axe entfällt oder nach der positiven Seite
der realen Axe ins Unendliche rückt (s. B. p. 23 3 )).
Wir können aber bei der Fortsetzung nach Gleichung (2.) für einen end
lichen ausserhalb der lateralen Axe gelegenen Werth von H auch nicht zu
einem von u = 0, 1, 00 verschiedenen Werth u = a gelangen, für den Y] 1 = 0.
Denn da für u = a bekanntlich nicht zugleich Tj 2 = 0 sein könnte, so müsste
für u = «, H unendlich werden.
Dem Fundamentaltheorem der Theorie der Differentialgleichungen zu
Folge wird daher u eine eindeutige Function von H in dem ganzen
Gebiete der letzteren Variablen sein, welches nach der positiven
Seite der realen Axe gelegen ist (s. B. p. 26 4 )).
Das Gebiet der Variablen u, welches durch die so definirte
Function u von H als Abbildung des Gebietes G 0 hergeleitet wird,
bedeckt die ganze T'-Ebene.
1) S. 97, Band II dieser Ausgabe. R. P.
2) Ebenda S. 99. R. F.
3) Ebenda S. 96 und 97. S. F.
4) Ebenda S. 100. R. F.