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NOTE ZU DER ARBEIT XXIY.
Denn wäre ein Theil V der T'-Ebene von dieser Abbildung ausgeschlossen,
so könnte seine Begrenzung F nicht Punkten des Inneren von G 0 entsprechen,
weil in der Umgebung jeder Stelle H' im Inneren von G 0 die Function u
eindeutig, endlich und stetig ist, also der Umgebung von H o = H' die volle
Umgebung des entsprechenden Punktes u = u entsprechen würde.
Wegen der Eindeutigkeit der Function u von H in G ü kann aber u für
eine Stelle H' auf g, 2, 20?, <7' nur zu dem einen Werthe u resp. der Theile
(oo, a, 1), (l>/3,0), (0,y, oo) der realen Axe gelangen, welcher bei der
obigen Construction des Gebietes 6r o den Werth H' lieferte. Für Punkte H o
auf h müsste aber u unendlich gross sein. Demnach müsste die Begrenzung
F von CT, so weit sie sich im Endlichen befindet, aus Theilen der realen
u-Axe bestehen. Da aber die Coefficienten der Beihen H 0 (u), H (ff), H x {u)
real sind, so ergeben die Gleichungen (4.) und (4c.) voriger Nummer, dass
in der Nähe des Theiles (1, oo) der realen u-Axe zu beiden Seiten die
zugehörigen Werthe H o im Inneren von G 0 , und zwar resp. von g und g'
gelegen sind. Ebenso ergeben die Gleichungen (8.) und (11.) voriger Nummer,
dass in der Nähe des Theiles (0, 1) der realen u-Axe zu beiden Seiten
die zugehörigen Werthe von H o im Inneren von G o resp. an 2, 20? gelegen
sind.
163] Demnach kann es kein Gebiet ü der Variablen u geben, welches bei
der Abbildung von G 0 vermittelst der eindeutigen Function u von H aus
geschlossen ist.
Die Abbildung des Gebietes G o vermittelst der Function u
von H auf die M-Ebene bedeckt dieselbe nur einfach.
Dieses folgt daraus, dass nach den Grundsätzen der Theorie der linearen
Differentialgleichungen die Integrale der Gleichung (3.) N0. 1, folglich auch
H in der T-Ebene eindeutige Functionen von u sind.
Die Ebene T' und das Gebiet G o sind demnach conforme Ab
bildungen von einander.
3.
Irgend ein Zweig H hat die Form
vi + pH 0
A + giH 0 ’
(1.)