Full text: Abhandlungen (1888 - 1902) und Reden (3. Band)

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NOTE ZU DER ARBEIT XXIY. 
Denn wäre ein Theil V der T'-Ebene von dieser Abbildung ausgeschlossen, 
so könnte seine Begrenzung F nicht Punkten des Inneren von G 0 entsprechen, 
weil in der Umgebung jeder Stelle H' im Inneren von G 0 die Function u 
eindeutig, endlich und stetig ist, also der Umgebung von H o = H' die volle 
Umgebung des entsprechenden Punktes u = u entsprechen würde. 
Wegen der Eindeutigkeit der Function u von H in G ü kann aber u für 
eine Stelle H' auf g, 2, 20?, <7' nur zu dem einen Werthe u resp. der Theile 
(oo, a, 1), (l>/3,0), (0,y, oo) der realen Axe gelangen, welcher bei der 
obigen Construction des Gebietes 6r o den Werth H' lieferte. Für Punkte H o 
auf h müsste aber u unendlich gross sein. Demnach müsste die Begrenzung 
F von CT, so weit sie sich im Endlichen befindet, aus Theilen der realen 
u-Axe bestehen. Da aber die Coefficienten der Beihen H 0 (u), H (ff), H x {u) 
real sind, so ergeben die Gleichungen (4.) und (4c.) voriger Nummer, dass 
in der Nähe des Theiles (1, oo) der realen u-Axe zu beiden Seiten die 
zugehörigen Werthe H o im Inneren von G 0 , und zwar resp. von g und g' 
gelegen sind. Ebenso ergeben die Gleichungen (8.) und (11.) voriger Nummer, 
dass in der Nähe des Theiles (0, 1) der realen u-Axe zu beiden Seiten 
die zugehörigen Werthe von H o im Inneren von G o resp. an 2, 20? gelegen 
sind. 
163] Demnach kann es kein Gebiet ü der Variablen u geben, welches bei 
der Abbildung von G 0 vermittelst der eindeutigen Function u von H aus 
geschlossen ist. 
Die Abbildung des Gebietes G o vermittelst der Function u 
von H auf die M-Ebene bedeckt dieselbe nur einfach. 
Dieses folgt daraus, dass nach den Grundsätzen der Theorie der linearen 
Differentialgleichungen die Integrale der Gleichung (3.) N0. 1, folglich auch 
H in der T-Ebene eindeutige Functionen von u sind. 
Die Ebene T' und das Gebiet G o sind demnach conforme Ab 
bildungen von einander. 
3. 
Irgend ein Zweig H hat die Form 
vi + pH 0 
A + giH 0 ’ 
(1.)
	        
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