ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
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ein System von Integralen ist, welche zu einer Wurzel r t —g l der Gleichung 
(3.) als Exponenten gehören, und wenn das System (ß.) nicht durch eine 
lineare Combination seiner Elemente mit Integralen höherer Exponenten auf 
ein anderes ebenfalls zu r 1 —g x gehöriges System mit einer geringeren Anzahl 
von Elementen zurückgeführt werden kann, während jedes andere Integral, 
welches zum Exponenten r x —g x gehört, sich durch das System (ß.) und In 
tegrale höherer Exponenten linear ausdrücken lässt, so ist r — g x eine p-fache 
Wurzel der Gleichung (3.). Denn wäre r t — g x eine #-fache Wurzel und q <p, 
so müsste nach dem eben citirten Satze das System (ß.) sich durch eine ge 
ringere Anzahl von Elementen ausdrücken lassen. 
Es möge nunmehr u aus Gleichung (6.) der Differentialgleichung: 
genügen. Wir setzen in (6.) an die Stelle von y successive die Elemente des 
Systems (a.) und bezeichnen die Resultate mit: 
(y.) u iV U X2 , » lw . 
Möge die oben mit q bezeichnete Wurzel der Gleichung (3.) jetzt: 
(16.) 
i> = 
sein, und Q o , Q t , ..., Q n _ x so bestimmt werden, dass F(r,a) [Gleichung (12.)] 
den Linearfactor ^ — (r^gj genau g x - fach enthält. Alsdann gehören die In 
tegrale des Systems: 
(tf.) u n , u w ..., u 1(ii 
zum Exponenten r l —g i + 1, während für l ^ 1 das System (y.) zum Exponenten 
r-gx gehört. 
Die Elemente eines Systems (y.) für l 4= 0 stehen aber weder unter ein 
ander noch mit den Integralen eines anderen Systems in linearer Beziehung, 
wenn die Gleichung (l.) irreductibel ist. Dasselbe gilt für A = 0, 
wenn g x > 1. 
Die zu x = a gehörige determinirende Fundamentalgleichung 
für die Gleichung (15.) besitzt also die Wurzeln: 
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