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ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
986] mindestens zum Exponenten n — 1 und ist in der Umgebung von 
x — a eindeutig. 
Aus der Gleichung (5.) oder: 
(5a.) 
A-i x s ...i n [ e up 
U 
ix, 
»l +iEi 
und aus der Erwägung, dass A n _ l eine rationale Function von x, also in der 
Umgebung von x = a eindeutig sein soll, ergiebt sich, dass diejenigen 
Coefficienten 
hv *iv • 
"> e n\ verschwinden müssen, für welche 
r x —r x keine ganze Zahl ist. 
In den übrig bleibenden Gliedern sind die Differenzen ■ 
r ihrem ab- 
n l 
soluten Werthe nach nicht grösser als n — 1, weil unsere Gleichung (1.) die 
im Theoreme (A.) vorausgesetzte Beschaffenheit hat. Daher gehören in den 
zurückbleibenden Gliedern die P^ x im Allgemeinen zu positiven ganz 
zahligen Exponenten. Ausgenommen ist ein Glied, für welches: 
(12.) 
r —r 
(»-!)• 
Dieser Fall kann nur ein treten, wenn die determinirende Fundamentalgleichung 
die Wurzeln r 1? r t — 1, i\— 2, ..., r t — {n — l) hat, und für die Combination: 
(13.) 
Setzen wir in (1.): 
(14.) 
K = h K 
{x — df 1 ^ n 1 '^ u, 
so würde die Differentialgleichung für u beim singulären Punkte a die Zahlen 
n — 1, n— 2, ..., 1, 0 als Wurzeln der determinirenden Fundamentalgleichung 
besitzen. Die Hauptdeterminante der Differentialgleichung für u würde dem 
nach für x =«= a weder Null noch unendlich. Die Coefficienten der Differential 
gleichung für u würden daher ebenfalls für x — a endlich bleiben, und es 
würde a überhaupt nicht mehr singulärer Punkt sein, wenn nicht die Integrale 
in ihrer Entwickelung um x = a Logarithmen enthielten. 
Denken wir uns also aus (1.) solche Punkte, welche durch die Substitution 
der Form (14.) beseitigt werden können, entfernt — wodurch die Natur der 
Gleichung (1.) nicht geändert wird — so schliessen wir, dass der Fall (12.) 
nur eintreten kann, wenn P } ^ x logarithmische Glieder enthält. Da aber