ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
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A n _ t in der Umgebung von a eindeutig sein muss, so folgt, dass der Complex 
der bezüglichen Glieder in Gleichung (5a.) verschwinden muss. 
Aus dem Vorhergehenden ergiebt sich das Theorem: 
Die rationale Function A n _ t von x wird für die nicht von 
(B.) t abhängigen singulären Punkte Null mindestens erster 
Ordnung. 
Für den singulären Punkt a = t gehört mindestens zum Expo- [987 
nenten i\ — 1, daher E mindestens zum Exponenten n— 2, es ist folglich, für 
n> 2, A n _ x auch Null für x = t, und für n — 2 jedenfalls nicht unendlich. 
Für x = 00 setzen wir; 
Alsdann ergiebt dieselbe Rechnung wie die obige, dass A n _ l | 2(w ~ 1) für 
| = 0 nicht unendlich wird. 
Es ist daher A n _ t für x = 00 höchstens von der 2{n — l) ten Ord 
nung unendlich. 
Anlangend die ausserwesentlich singulären Punkte, so kann die Trans 
formation (6.) N0. 1 so gewählt werden, dass die Hauptdeterminante der In 
tegrale der transformirten Gleichung in den durch die Transformation ent 
standenen ausserwesentlich singulären Punkten ß nur einfach verschwindet. 
Die auf einen solchen Punkt bezügliche determinirende Fundamentalgleichung 
hat dann die Wurzeln 0, 1, 2, ..., n — 2, n. Bei der Transformation (6a.) N0. 1 
bleiben die singulären Punkte ß und die zugehörigen determinirenden Funda 
mentalgleichungen erhalten, während neue ausserwesentlich singuläre Punkte 
y ein treten, deren zugehörige determinirende Fundamentalgleichungen eben 
falls die Wurzeln 0, 1, 2, ...,w — 2,n sind. So weiter schliessend folgern wir, 
dass wir bei unserer Gleichung (l.) voraussetzen dürfen, dass zu allen ausser 
wesentlich singulären Punkten derselben determinirende Fundamentalgleichungen 
mit den Wurzeln 0, 1, 2, ..., n— 2, n gehören. 
Setzen wir in Gleichung (2.) für y successive y 2 , • • •» y n , so ergiebt 
sich aus dem entstehenden Gleichungssystem: 
(16.) AA k = Z k , (fc = i,2,...,n—l) 
worin Z k eine ganze Function von y i , y 2) ..., y n und ihren Ableitungen nach