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ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
x .und von •••> und wo A die Hauptdeterminante von y l% y 2 , 
ist. Da A für einen ausserwesentlich singulären Punkt nur erster Ordnung 
verschwindet, und da y^ y 2 , ..., y n und ihre Ableitungen nach x, sowie, wegen 
der Voraussetzung (b) No. 3, 4^-, •••, 4^ nicht unendlich werden, so er- 
giebt sich, dass 
A A A 
-°-0 7 7 ' * * J 1 
für einen ausserwesentlich singulären Punkt höchstens erster Ordnung unend 
lich werden. 
988] Aus dem Vorhergehenden ergiebt sich, dass: 
(IV) A M _ X , 
wo der Zähler Z jedenfalls für die von t unabhängigen Werthe a 2 , ..., a 
mindestens erster Ordnung verschwindet, während der Nenner N nur für die 
ausserwesentlich singulären Punkte und zwar nicht höherer als erster Ordnung 
verschwinden kann. Da andererseits A n _ x für x = 00 höchstens 2(w —l) ter Ord 
nung unendlich ist, so ergiebt sich: 
Ist die Anzahl der ausserwesentlich singulären Punkte der 
Gleichung (1.) = m, so ist: 
(18.) g < 2n + ni — 1. 
Wenn die aus (6.), (6a.), ... N0. 1 resultirende Transformation so einge 
richtet werden könnte, dass keine ausserwesentlich singuläre Stelle eingeführt 
würde, alsdann träte an die Stelle der Ungleichung (IS.) eine Ungleichung 
der Form: 
(18a.) g<2n-l. 
Würden die Grössen e kl [Gleichung (3.)] von t unabhängig werden, so 
würde in Gleichung (5.) auf der rechten Seite nur das mit 8 multiplicirte 
Glied verbleiben, und daher A n _ i für die g — 1 von t unabhängigen singulären 
Punkte n — l ter Ordnung verschwinden, und es müsste dann, da in diesem 
Falle die Transformationen (6.), (6a.) u. s. w. N0. 1 überflüssig werden, und 
demnach m = 0 wäre, sein: 
(n — 1) {q — 1) 2 n — 1 
d. h.: 
3w — 2