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ZUR THEORIE DER PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
232] Ist 
(3.) A = 0, 
so ergeben sich ans (l.) zwischen w 0 , w n _ x die Relationen 
(4.) q ox w 0 + Q lx W 1 + • • • + Qn—i, 7. W n - t b. (x = 0,1,..., n 1) 
Sind insbesondere die Coefficienten p y rationale Functionen und die 
Functionen R a , 3 in Gleichung (1.) rationale Lösungen von (E.), so folgt 
aus dem Umstande, dass jede Ableitung von w nach x eine lineare homogene 
Function von m> 0 , •^ mit rationalen Coefficienten ist, aus Gleichung (3.), 
dass schon zwischen 
d n 
w m 
ml 1 1 ^ x n 1 
eine lineare homogene Relation mit rationalen Coefficienten stattfindet. Ins 
besondere ergiebt sich dann, dass die zu (2.) adjungirte Differentialgleichung 
und folglich auch die Differentialgleichung (2.) reductibel ist. 
Wenn wiederum die Grössen R a ^ den Gleichungen (L.) genügen, so 
ergiebt sich nach Gleichung (4.) N0. 2 
dt 
et +y et 
n-l , n-1 
V0) „.CA) „,&) 
B ml Sx D& iT - r S* m* + 4.2>S) 
also 
Der Coefficient von y (Q) in dieser Summe ist: 
dWL 
di 
woraus sich ergiebt 
(T'O 
d«L 
di 
= -Sx^°>. 
Ô 2 Î0-, 
Durch Vergleichung der beiden Werthe von welche aus den 
Gleichungen (T.) und (T'.) unter Zuhülfenahme der Gleichungen (E.), (F.), 
(F'.) erhalten werden, ergiebt sich die Relation: 
(U.) 
(x = 0, 
welche wir bereits in voriger Nummer Gleichung (11.) unmittelbar aus den 
Gleichungen (P.), (P'.) hergeleitet haben.