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ZUR THEORIE DER ABELSCHEN FUNCTIONEN.
Später ist für die allgemeinen hyp er elliptischen Integrale erster Gattung
derselbe Satz bewiesen worden*), indem ebenfalls durch Anwendung der von
mir**) aufgestellten Substitutionsgruppe der Gleichung (G.) die Existenz einer
rationalen Lösung der 1p — 2 ten Associirten der Gleichung (G.) erhärtet wird***).
Daselbstt) wird überdies der explicite Ausdruck dieser rationalen Function
entwickelt.
In meiner oben erwähnten Untersuchung habe ich weiter für p = 2 aus-
478] geführt, dass die Eeductibilität der genannten Associirten die Weier-
sTRASsschen Relationen zwischen den Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen
Integrale erster und zweiter Gattung liefert tt). Das Gleiche findet für einen
beliebigen Werth von p statt ttt).
Bedeutet aber (G.) die Differentialgleichung 1p teT Ordnung, welcher die
Periodicitätsmoduln eines allgemeinen AßELschen Integrals erster Gat
tung genügen§), und (H.) die 1p — 1 te Associirte von (G.), so ist die Unter
suchung der letzteren nicht auf demselben Wege ausführbar, so lange nicht
auch für den allgemeinen Fall der Periodicitätsmoduln der AsELSchen Integrale
die Substitutionsgruppe der Gleichung (G.) aufgestellt ist.
Ich will nun in der folgenden Note zeigen, wie man jetzt ohne Kennt-
niss dieser Substitutionsgruppe aus der Bestimmungsweise, welche ich
für die Coefficienten der Differentialgleichung der Periodicitätsmoduln der
AßELschen Integrale entwickelt habe§§), unmittelbar und auf viel einfachere
Weise für den allgemeinen Fall der AsELschen Integrale nachweisen
kann, dass die 1p — 1 ie Associirte von (G.) eine Lösung besitzt, welche mit
*) Von meinem Sohne Richard, in seiner im CRBLLEschen Journal, Bd. 119, abgedruckten Inau
guraldissertation, welche ich im Folgenden mit R. F. bezeichnen werde.
**) Grelles Journal, Bd. 71, S. 100 ff. *).
***) R. F. S. 4-7.
f) R. F. S. 7-12.
ff) Yergl. a. a. 0. S. 717 1 2 ).
fff) Yergl. R. F. S. 12-17.
§) Yergl. Grelles Journal, Bd. 73, S. 329 ff. 3 ).
§§) Sitzungsberichte 1897, S. 608 ff. 4 ).
1) Abh. VHI, S. 251—2ö2, Band I dieser Ausgabe. R. E.
2) Abh. LIV, S. 39 dieses Bandes. R. F.
3) Abh. XIII, S. 349 ff., Band I dieser Ausgabe. R. F.
4) Abh. LXVIH, S. 249 ff. dieses Bandes. R. F.
