ZUR THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN, 19 
Andererseits ist die Differentialgleichung für v derselben Klasse angehörig, 
und es ist die Ordnung derselben nach Gleichung (8.) die (m-^) te . Aus dem 
Satze II. folgt als Corollar: 
III, Ist eine Differentialgleichung der Klasse irreductibel, 
so sind alle Differentialgleichungen derselben Klasse irreduc 
tibel, und es giebt unter ihnen keine von niedrigerer Ordnung 
als von der m ten . 
10. 
Die Coefficienten S o1 S lX ..., S v _ 1 in dem Multiplicator 
(N.) M{t) = S 0 1 + S x f + • • • + S v _ x f-» 
des Ausdruckes H{t) genügen einem gewissen Systeme (2) linearer homogener 
Gleichungen mit rationalen Coefficienten, welche nach No. 8 erhalten [1277 
werden, wenn wir in Gleichung (M.) die Coefficienten der Ableitungen gleich 
hoher Ordnung von t auf beiden Seiten einander gieichsetzen. Der Voraus 
setzung nach lässt dieses System rationale Lösungen für S o , S t , ..., S r _ i zu. 
Lässt das System (2) zwei rationale Lösungen S 0 , S v _ 1 ; 
8', ..., S' von solcher Beschaffenheit zu, dass zwischen den 
Functionen M(t) und M t {t), welche den Gleichungen 
(1.) -Mfi) = S 0 1 + S x t + • • • + S v -i v } 
(2.) M t (t) = S' 0 t + s[ f + • • ■• + au 
entsprechen, nicht eine Gleichung 
(3.) M x {t) = yM(t), 
wo y von x unabhängig, identisch besteht, so ist die Gleichung 
(H 7 .) reductibel. 
Es sei nämlich t = | eine Lösung der Gleichung (H.), so ist nach dem 
Satze I. in N0. 5 [vergl. die Gleichung (M.)] sowohl M{£) als auch MJg) 
ein Integral der zu (LT.) adjungirten Differentialgleichung 
(4.) H'if) = 0. 
Die Differentialgleichungen, welchen Af(|), Mß) genügen, sind mit der Glei 
chung (H.) von derselben Klasse. Ist (ET.) irreductibel, so sind, nach Satz III. 
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