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ZUR THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
den Werthen, welche die Gleichungen (6.) für A 0 ,A lf ... t A m _ x ergeben, nach 
dem Umlaufe U mit demselben Factor multiplicirt sein. Hieraus folgt, dass 
A . A . A durch die Umläufe der Yariabeln x um die singulären Punkte 
der Gleichung (1.) voriger Nummer nicht geändert werden. 
Bedeutet W ein Gebiet, in welchem kein singulärer Punkt der Gleichung 
(1.) voriger Nummer sich befindet, so ist für jeden Punkt x dieses Gebietes 
nach dem Theoreme von Cauchy, wenn wir 
Va = fa(P, 1¿ ) 
(a — 1,2 
(7.) 
setzen, 
(8.) 
das Integral erstreckt über die Begrenzung von W. Wir haben daher 
dy ft __ 1 Í df a (2, h) dz 
dk 2râ J dk z — x’ 
1 C df a (z, h) dz 
(9.) 
2râ J dk z — x ’ 
woraus hervorgeht, dass innerhalb W eindeutig, endlich und stetig ist. 
Ebenso ergiebt sich, dass ^ in der Umgebung von x — oo die gleiche Eigen 
schaft hat, wenn y a daselbst eindeutig, endlich und stetig ist. 
innerhalb W eindeutig, endlich und stetig ist. 
woraus hervorgeht, dass 
Da hiernach keine anderen Singularitäten besitzt als y a , so 
ergiebt sich, dass A o , A x , ..A m _ x eindeutige Functionen von x sind. 
Differentiiren wir die Gleichung (1.) voriger Nummer nach 7c, so folgt: 
Da die Integrale y der Gleichung (l.) voriger Nummer keine Punkte der 
1282] Punkte der Unbestimmtheit hat. Daher haben auch die aus den Glei 
chungen (6.) sich ergebenden Werthe von A 0 , A x , ..., A m _ t keine Punkte der 
Unbestimmtheit. Dieselben sind also rationale Functionen von x } 
und die Gleichungen (6.) sind mit den Gleichungen (2.) voriger 
Nummer übereinstimmend. 
13. 
Es möge nunmehr von der Gleichung (A.) vorausgesetzt werden, dass sie 
den Anforderungen (a.) in N0. 11 Genüge leiste. Sind alsdann y^ y 2 , ..., y %n