92 
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS. 
eritque a 5 = 1, sive (a—1) [a 1 -\-o?-{-a 1 1) = 0 (mod. 5w-f- l). At quia 
nequit esse a= 1, neque adeo a —1 = 0; necessario erit a i -{-o 3 -\-a 2 ~\-a-1-1 
= 0. Quare etiam 4 1) = (2 aa-\~a-\- 2) 2 —-5 a 2 erit =0 
i. e. 5 a 2 erit residuum ipsius 5ra-f-l, adeoque etiam 5, quia a 2 est residuum 
per 5^ —(— 1 non divisibile (a enim per 5w-j-l non divisibilis propter a 5 —],). 
Q. E. D. } 
At casus, ubi numerus primus formae 5 ^ —J— 4 proponitur, subtiliora artiti- 
1 
cia postulat. Quoniam vero propositiones quarum ope negotium absolvitur in se- 
X 
quentibus generalius tractabuntur, hic breviter tantum eas attingimus. 
I. Si p est numerus primus atque h non-residuum quadraticum datum e 
ipsius p, valor expressionis 
(A) ... (* + ^r +l -(x-\/b)p+' j 
(ex qua evoluta irrationalitatem abire facile perspicitur), semper per p divisibilis 
erit, quicunque numerus pro x assumatur. Patet enim ex inspectione coefficien- 
tium qui ex evolutione ipsius A obtinentur, omnes terminos a secundo usque ad 
p-i 
penultimum (incl.) per p divisibiles fore, adeoque esse A= 2(p-j-l) [x p -\-xb~*~) 
(mod.jo). At quoniam h ipsius p non-residuum est, erit = — 1 (mod.jti'), 
(art. 106); x p autem semper est =x (Sect. praec.), unde fit A= 0. Q. E. D. 
II. Incongruentia A=0(mod.j9), indeterminata x habet p dimensiones 
omnesque numeri 0,1,2 p—1 illius radices erunt. lam ponatur e esse divi- 1 
sorem ipsius p-J- 1 eritque expressio ^ 
{x -p \Jh) e — (x — \Jb) e > l||| I 
\Jh r 
(quam per B designamus) si evolvitur, ab irrationalitate libera, indeterminata x c 
in ipsa e—1 dimensiones habebit, constatque ex analyseos primis elementis, A r 
per B (indefinite) esse divisibilem, lam dico e—1 valores ipsius x dari, quibus 
in B substitutis, B per p divisibilis evadat. Ponatur enim A = BC, habebit- 
que x in C dimensiones p — e-j-1, adeoque congruentia C = 0 (mod. p) non 
plures quam p — e-\-i radices. Unde facile patet, omnes reliquos numeros ex p 
his 0,1,2,3—p — 1, quorum multitudo =e—1, congruentiae B= 0 radi- ti 
ces fore. q 
III. lam ponatur p esse formae 5—j— 4, c=5, b non-residuum ipsius E 
p, atque numerum a ita determinatum, ut sit a