PRAEPARATIO AD DISQUISITIONEM GENERALEM. 
95 
par vel impar), adeoque necessario per numerum aliquem primum formae 8w-J-3 
vel 8w + 5 divisibilis, productum enim ex quotcunque numeris formae 8w+l 
et Sn-\-l neque formam 8n-{-3 neque hanc 8w+5 habere potest. Sit hic 
q, eritque 8n-\- 5 = 1a l (mod. q). At 2 ipsius q non-residuum erit (art. 112), 
adeoque etiam 2tf i# ) et 8w-j-5. Q. JS. D. 
126. 
Sed numerum quemvis primum formae 8w-|-l positive acceptum semper 
alicuius numeri primi ipso minoris non residuum esse, per artificia tam obvia de 
monstrari nequit. Quum autem haec veritas maximi sit momenti, demonstratio 
nem rigorosam, quamvis aliquantum prolixa sit, praeterire non possumus. Prae 
mittimus sequens 
Lemma. Si habentur duae series numerorum 
A, B, C etc (I), A', B', C etc (II) 
(utrum terminorum multitudo in utraque eadem sit necne nihil interest) ita com 
paratae , ut, denotante p numerum quemcunque primum aut numeri primi potestatem, 
terminum aliquem secundae seriei (sive etiam plures) metientem, totidem ad minimum 
termini in serie prima sint per p divisibiles, quot sunt in secunda: tum dico produc 
tum ex omnibus numeris (I) divisibile fore per productum ex omnibus numeris (II). 
Exempl. Constet (I) e numeris 12,18,45; (II) ex his 3,4, 5, 6, 9. Tum 
divisibiles erunt per 2, 4, 3,9,5 in (I) 2,1,3, 2,1 termini, in (II) 2,1,3,1,1 
termini, respective; productum autem omnium terminorum (I) =9720 divisibile 
est per productum omnium terminorum (II), 3240. 
Demonstr. Sit productum ex omnibus terminis (1), = Q, productum om 
nium terminorum seriei (II), = Q'. Patet quemvis numerum primum qui sit di 
visor ipsius Q' etiam ipsius Q divisorem fore. lam ostendemus quemvis facto 
rem primum ipsius Q', in Q totidem ad minimum dimensiones habere quot ha 
beat in Q'. Esto talis divisor p, ponaturque, in serie (I) a terminos esse per p 
divisibiles, b terminos per p 2 divisibiles, c terminos per p s divisibiles etc., similia 
denotent literae a, b', c etc. pro serie (II), perspicieturque facile, p in Q habere 
*) Art. 98. Patet enim o 2 esse residuum ipsius q per q non divisibile, nam alias etiam numerus pri 
mus p per q foret divisibilis. Q. E. A.