PRAEPARATIO AD DISQUISITIONEM GENERALEM. 
97 
Demonstr. I. Quando p = 2, in (I) omnes termini praeter primum, i. e. 
m termini divisibiles erunt; totidem autem erunt in (II). 
II. Sit p numerus impar vel numeri imparis duplum vel quadruplum, at 
que a~rr[mod.p). Tum in progressione, —m, —{m—1), —{m—2), -\-m 
{quae terminorum multitudine cum (II) convenit et per (III) designabitur) totidem 
ad minimum termini erunt secundum modulum p ipsi r congrui, quot in serie (II) 
per p divisibiles (art. praec.). Inter illos autem bini, qui signo tantum, non mag 
nitudine, discrepent, occurrere nequeunt*). Tandem quisque eorum correspon- 
dentem habebit in serie (I), qui per p erit divisibilis. Scilicet si fuerit +6 ali 
quis terminus seriei (III) ipsi r secundum p congruus, erit a — bb per p divisi 
bilis. Quodsi igitur b est par, terminus seriei (I), 2 [a— bb), per p divisibilis 
erit. Si vero b impar, terminus \ [a — bb) per p divisibilis erit: namque mani 
festo ----- erit integer par, quoniam a — bb per 8, p autem ad summum per 
4 divisibilis [a enim per hyp. est formae 8 n~\-1, b h autem ideo quod est numeri 
imparis quadratum eiusdem formae erit, quare differentia erit formae 8 n). Hinc 
tandem concluditur, in serie (I) totidem terminos esse per p divisibiles, quot in 
(III) sint ipsi r secundum p congrui i. e. totidem aut plures quam in (II) sint 
per p divisibiles. Q. E. D. 
III. Sit p formae 8n, atque a=rr(mod. 2p). Facile enim perspicitur, a, 
quum ex hyp. ipsius p sit residuum, etiam ipsius 2p residuum fore. Tum in se 
rie (III) totidem ad minimum termini erunt ipsi r secundum p congrui, quot in 
(II) sunt per p divisibiles, illique omnes magnitudine erunt inaequales. At cui 
que eorum respondebit aliquis in (I) per p divisibilis. Si enim -)-6 vel —b 
= r (mod.p), erit bb=rr (mod. 1p) f), adeoque terminus \-{a — bb) per p di 
visibilis. Quare in (I) totidem ad minimum termini erunt per p divisibiles 
quam in (II). Q. E. D. 
i 29. 
Theorema. Si a est numerus primus formae 8n-\-\, necessario infra 2\Ja -f-1 
dabitur aliquis numerus primus cuius non-residuum sit a. 
*) Si enim esset r=—mod.p), fieret 2f per p divisibilis, adeoque etiam 2a (propter fj 
= a (mod.^j)). Hoc autem aliter fieri nequit, quam si p — 2 , quum per hyp. a ad p sit primus. Sed de hoc 
casu iam seorsim diximus. 
t) Erit scilicet bb—rr—[b — r)(Z»-(-r) e duobus factoribus compositus, quorum alter per p divisibi 
lis (hyp.), alter per 2 (quia tum b tum r sunt impares); adeoque bb — rr per 2p divisibilis. 
13