PER INDUCTIONEM THEOREMA GENERALE STABILITUR. 
103 
134. 
Aggrediamur nunc deductionem harum propositionum. 
I. Concipiatur, ut ante, P in factores suos primos resolutus, signis neglec 
tis, insuperque etiam Q in factores quomodocunque resolvatur, ita tamen ut sig 
ni ipsius Q ratio habeatur. Combinentur illi singuli cum singulis his. Tum si 
s designat multitudinem omnium combinationum, in quibus factor ipsius Q est 
non-residuum factoris ipsius P, p et s vel simul pares vel simul impares erunt. 
Sint enim factores primi ipsius P, hi /, /', f" etc. et inter factores in quibus Q 
est resolutus, sint m qui ipsius f sint non-residua, m' non-residua ipsius f, 
m non-residua ipsius /"etc. Tum facile quisquis perspiciet, fore 
s = m -J- m’ -(- m” -J- etc. 
p autem exprimere quot numeri inter ipsos m, m, m" etc. sint impares. Unde 
sponte patet, s fore parem quando p sit par, imparem quando p sit impar. 
II. Haec generaliter valent, quomodocunque Q in factores sit resolutus. 
Descendamus ad casus particulares. Contemplemur primo casus, ubi alter nu 
merorum, P, est positivus, alter vero, Q, vel formae -\-A vel formae —B. Re 
solvantur P, Q in factores suos primos, attribuatur singulis factoribus ipsius P 
signum positivum, singulis autem factoribus ipsius Q signum positivum vel nega 
tivum, prout sunt formae a vel h\ tunc autem manifesto Q fiet vel formae -\~ A 
vel —B uti requiritur. Combinentur factores singuli ipsius P cum singulis 
factoribus ipsius Q, designetque ut ante s multitudinem combinationum in qui 
bus factor ipsius Q est non-residuum factoris ipsius P, similiterque t multitu 
dinem combinationum in quibus factor ipsius P est non-residuum factoris ipsius 
Q. At ex theoremate fundamentali sequitur illas combinationes idénticas fore 
cum his adeoque s= t. Tandem ex iis quae modo demonstravimus sequitur esse 
p eee s (mod. 2), q ~ t (mod. 2), unde fit p = q (mod. 2). 
Habentur itaque propp. 1, 3, 4 et 6 art. 133. 
Propositiones reliquae per methodum similem directe erui possunt, sed una 
consideratione nova indigent; facilius autem ex praecedentibus sequenti modo de 
rivantur. 
III. Denotent rursus P, Q, numeros quoscunque impares inter se primos, 
p, q multitudinem factorum primorum ipsorum P, Q, quorum non-residua Q, 
P respective. Tandem sit p multitudo factorum primorum ipsius P, quorum