*) Si ex aliqua classe nulli factores adessent, loco producti ex his i scribere oporteret. 
110 
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS. 
144. 
Casus octavus. Quando T-\-1 est formae 4 w-|- 3 {= h), p formae 4 n -(-1, 
atque -\-pNh sive —p 11 h, non poterit esse + h Rp. (Casus ultimus supra). 
Demonstratio perinde procedit ut in casu praecedenti. 
Methodus analoga, theorema art. 114 demonstrandi. 
145. 
In demonstratt. praecc. semper pro e valorem parem accepimus (artt. 137 .. 
144); observare convenit, etiam valorem imparem adhiberi potuisse, sed tum plu- 
res adhuc distinctiones introducendae fuissent. Qui his disquisitionibus delec 
tantur, haud inutile facient, si vires suas in evolutione horum casuum exercitent. 
Praeterea theoremata ad residua -|- 2 et — 2 pertinentia tunc supponi debuis 
sent : quum vero nostra demonstratio absque his theorematibus sit perfecta, no 
vam hinc methodum nanciscimur, illa demonstrandi. Quae minime est contem 
nenda, quum methodi, quibus supra pro demonstratione theorematis, +2 esse 
residuum cuiusvis numeri primi formae 8^-f- 1, usi sumus, minus directae vide 
ri possint. Reliquos casus (qui ad numeros primos formarum 8 /2- —}— 3 , 8?? -)-5, 
8n-\-7 spectant) per methodos supra traditas demonstratos, illudque theorema 
tantummodo per inductionem inventum esse supponemus; hanc autem inductio 
nem per sequentes reflexiones ad certitudinis gradum evehemus. 
Si +2 omnium numerorum primorum formae 8w-f-l residuum non es 
set, ponatur minimus primus huius formae, cuius non-residuum + 2, —a, ita 
ut pro omnibus primis ipso a minoribus theorema valeat. Tum accipiatur nu 
merus aliquis primus <f\a, cuius non-residuum a (qualem dari ex art. 129 fa 
cile deducitur). Sit hic —p eritque per theor. fund. pNa. Hinc fit -f-2pRa. 
— Sit itaque e 2 = 2p (mod.a) ita ut e sit impar atque <fa. Tum duo casus 
erunt distinguendi. 
I. Quando e per p non est divisibilis. Sit e 2 —2p-\-aq eritque q po 
sitivus, formae Sn-\-l vel formae 8w-)-3 (prout p est formae 4w-f-l vel 
4w-j-3), <fa, atque per p non divisibilis. lam omnes factores primi ipsius q 
in quatuor classes distribuantur, sint scilicet e formae 8 n -f-1, f formae 8 n 3, 
g formae 8%-(-5, h formae ; productum e factoribus primae classis sit 
E, producta e factoribus secundae, tertiae, quartae classis respective, F, G.H*).