122 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
hh— ac — (ji(mh-\-nc)— v(¡ma-\-nhyf (mod.M) 
i. e. hh— ac residuum quadraticnm ipsius M. 
Numerum hh — ac, a cuius indole proprietates formae (a,h,c) imprimis 
pendere in sequentibus docebimus, determinantem huius formae vocabimus. 
Valores expr. \!{bh — ac) {mod. M) ad quos repraesentatio numeri M par formam (a, h, c) pertinet. 
155. 
Erit itaque 
p (mh-^-nc) —v[ma-\-nb) 
valor expressionis 
\J(h h — ac) (mod. M) 
Constat autem, numeros p, v infinitis modis ita determinari posse ut sit jam-\-vn 
= 1, unde alii aliique valores illius expressionis prodibunt, qui quem nexum in 
ter se habeant videamus. Sit non modo [xm-\-vn = 1, sed etiam \im-\-dn 
— 1, ponaturque 
Hi[mb-\-nc)—^{ma-\-nh) — v, (mh-\-nc)— d (ma-\-nb) — v' 
Multiplicando aequationem ¡j J m-\-'m= 1 per ja, alteram p m-{-Vn = \ per ja, 
et subtrahendo fit jp'—p = n(p'v— pv') similiterque multiplicando illam per v', 
hanc per v, fit subtrahendo v'— v=m[pv'— p'v). Hinc statim prodit 
v—v — (p'v— pv^amm-j- 2hmn-\-cnn) = (p'v— pd)M 
sive v = 15 (mod. M). Quomodocunque igitur p, v determinentur, formula 
p [m h n c) — v [m a -j- n h) valores diversos {i. e. incongruos) expressionis \J(h h—a c) 
(mod. M) dare nequit. Si itaque v est valor quicunque illius formulae; reprae 
sentationem numeri M per formam axx-\- 2 hxy-\-cyy eam ubi x — m, y=n, 
pertinere dicemus ad valorem v expressionis \/{hh — ac) (mod. M). Ceterum faci 
le ostendi potest, si valor formulae illius aliquis sit v atque v=v (mod. M), lo 
co numerorum p, v, qui dant v, alios p', v' accipi posse, qui dent v. Scilicet 
faciendo 
m {v' — v) 
M 
fiet 
p m-\-dn = pm-f-vw = 1