144 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
168. 
Theorema. Si numerus M per formam axx -f- 2 bxy -\- cyy repraesentatur 
tribuendo ipsis x,y, valores inter se primos m,n, valorque expressionis \]D[mod.M), 
ad quem haec repraesentatio pertinet, est N: formae [a, h, c), [M, N, pro 
prie aequivalentes erunt. 
Demonstr. Ex art. 155 patet, numeros integros ju, v inveniri posse ita ut sit 
m ju,-f-nv = i , fx{bm-\- cri) — v[am-\-bn) = N 
Quo facto forma (a,b,c) per substitutionem x — mx—vy', y — nx-fpy, quae 
manifesto est propria, transit in formam cuius determinans = D[m\i-\-n^f i. e. 
= D, sive in formam aequivalentem: quae forma si ponitur = [M', N', -—-^7 
erit 
M' =■ amm-\- 2bmn-\- cnn — M, N'= — mva-\- (mp — n^b-fnpc — N 
Quare forma in quam [a, b, c) per transformationem illam mutatur, 
(M, N, Q.E.D. 
Ceterum ex aequationibus 
nifx -f- nv — 1, fji{mb-\-nc) — v(ma-\-nb) = N 
deducitur 
¡JL = 
nN ma -p nb 
amm-\-2bmn-\-cnn 
n N + m a + nb mb -f- nc — m N 
M ’ v 
erit 
qui numeri itaque erunt integri. 
Porro observandum, hanc propositionem locum non habere, si M— 0; 
tum enim terminus NN - h/r — fit indeterminatus*). 
169. 
Si plures repraesentationes numeri M, per [a, b, c) habentur, ad eundem 
valorem expr. \jD{mod.M),N, pertinentes (ubi valores ipsorum x, y semper 
inter se primos supponimus): plures etiam transformationes propriae formae 
(a, b, c).. (F), in (M, N, - -) ■ • (f?) inde deducentur. Scilicet si etiam per hos 
valores x — m,y — ri talis repraesentatio provenit, (F) etiam per substitutionem 
*) In hoc enim casu, si ad ipsum phrasin extendere volumus, haec: N esse valorem expr. \!D (mod. M), 
sive NN = D (mod. 31) significabit, NN — D esse multiplum ipsius M, adeoque = o.