150
DE FORMIS SECUNDI GRADUS.
reducta (2, 1, 3), quae quum simul sit anceps, formae (23, 38, 63), (1 5, 20, 27)
tum proprie tum improprie aequivalebunt. Formis (37, 53, 7 8), (53, 7 3, 102),
aequivalent reductae (9, 2, 9), (9, — 2, 9) quae quum sint oppositae, ipsarumque
termini extremi aequales: formae propositae tam proprie quam improprie erunt
aequivalentes.
174.
Multitudo omnium formarum reductarum, determinantem datum — D ha
bentium, semper est finita, et, respectu numeri D, satis modica; formae hae ip
sae vero duplici modo inveniri possunt. Designemus formas reductas determi
nantis — D indefinite per (a,b,c), ubi itaque omnes valores ipsorum a, b, c
determinari debent.
Methodus prima. Accipiantur pro a omnes numeri, tum positivi tum nega
tivi non maiores quam \JiD, quorum residuum quadraticum —D, et pro sin
gulis a, fiat b successive aequalis omnibus valoribus expr. \J—_D(mod. a), non
maioribus quam \a, tum positive tum negative acceptis; c vero pro singulis va
loribus determinatis ipsorum a, b, ponatur =. D ^ hb . Si quae formae hoc modo
oriuntur in quibus c<^a, hae erunt reficiendae, reliquae autem manifesto erunt
reductae.
Methodus secunda. Accipiantur pro b omnes numeri, tum positivi tum ne
gativi, non maiores quam ^ \J , sive ^ pro singulis b resolvatur bb-{-D
omnibus quibus fieri potest modis in binos factores (etiam signorum diversitatis
ratione habita) ambos ipso 2b non minores ponaturque alter factor, et quidem,
quando factores sunt inaequales, minor = a, alter = c. Quum a non erit
omnes formae quae hoc modo prodeunt, manifesto erunt reductae—
Denique patet, nullam formam reductam dari posse quae non per utram que me
thodum inveniatur.
JEtoc. Sit D = 85. Hic limes valorum ipsius a est qui iacet inter
10 et 11. Numeri vero inter 1 et 10 (incl.) quorum residuum —85, sunt
1, 2, 5, 10. Unde habentur formae duodecim:
(1,0,85), (2, 1,43), (2,—1,43), (5,0,17), (10,5,11), (10,-5,11); (—1,0,—85),
(—2, 1,-43), (—2, —1,-43), (— 5,0,—17), (—10, 5,—1 1, (—1 0, — 5, — 11).
Per methodum alteram limes valorum ipsius h habetur \j qui situs est
inter 5 et 6, Pro b — 0, prodeunt formae