DETERMINANTES QUADRATI. 
203 
Quibus valoribus ipsorum a, y, a', y' in formula modo tradita pro transforma 
tione formae F in F' substitutis, transit in hanc: 
V - *'g Vg—W of~Vf Vf-l g ' 
2 h ’ 2h ’ 2/i ’ 2/i 
ex qua H omnino abiit. 
Si duae formae jP, .F' improprie aequivalentes proponuntur, et transfor 
matio impropria alterius in alteram quaeritur, sit forma G opposita formae F, et 
transformatio propria formae G in F' haec oc, d, y, 8. Tunc manifestum est, 
oc, —y, —8 fore transformationem impropriam formae F in F'. 
Denique patet, si formae propositae et proprie et improprie aequivalentes 
sint, hoc modo inveniri posse transformationes duas alteram propriam alteram 
impropriam. 
209. 
Nihil itaque iam superest quam ut ex una transformatione omnes reliquas 
similes deducere doceamus. Hoc vero pendet a solutione aequationis indetermi 
natae tt — hhuu = mm, designante m divisorem communem maximum nume 
rorum a, 2 h, c, si [a, b, c) est alterutra formarum aequivalentium. Sed haec 
aequatio semper duobus tantum modis solvi potest, nempe ponendo aut t — m, 
u= 0, aut t=—m, u = 0. Ponamus enim dari adhuc aliam solutionem 
t = T, u = U, ita ut U non =0. Quia mm ipsum 4 hh certo metitur, erit 
tll — U - T - -I- 4, atque tum tum ihJlUir quadrata integra. Sed nullo 
negotio perspicitur, numerum 4 duorum quadratorum integrorum differentiam 
esse non posse, nisi quadratum minus sit 0 i. e. U = 0, contra hyp Si ita 
que forma F in formam F' per substitutionem a, h, y, 0 transit, alia transfor 
matio huic similis non dabitur praeter transformationem — a, — b, — y, — C. 
Quare si duae formae aut proprie tantum, aut improprie tantum aequivalent, 
duae tantum transformationes dabuntur; si vero tum proprie tum improprie, qua- 
tuor, nempe duae propriae duaeque impropriae. 
210. 
Theorema. Si duae formae reductae {a, h, 0), [a, h, 0) improprie sunt aequi 
valentes, erit a a' = mm [mod. 2mh), designante m divisorem communem maximum 
numerorum a,2h, vel d, 2h; et vice versa, si a, 2 h; d,2h eundem divisorem 
26*