212 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
dum requirit, quando determinans prioris formae f etiam est 0, aliam quando 
non est 0. Haec omnia iam exponemus. 
I. Ante omnia observamus, quamvis formam axx -f- 2 bxy -j- cyy, cu 
ius determinans bb— ac = 0, ita exhiberi posse m{gx-f- hyf, denotantibus 
g, h numeros inter se primos, m integrum. Sit enim m divisor communis ma 
ximus ipsorum a, c eodem signo acceptus quo hi numeri ipsi sunt affecti (hos 
signa opposita habere non posse facile perspicitur), eruntque £-, ~ integri inter se 
primi non negativi, productum ex ipsis = ~ i. e. quadratum, adeoque illi ipsi 
quadrata (art. 21), Sit ~=gg, ~ = hh, eruntque etiam g. h inter se primi, 
gghh = ~, et 9 h = ± Hinc patet 
m[gx-^r_liyf fore = axx -\-1bxy-j- cyy 
Iam propositae sint duae formae f, F, utraque determinantis 0, et qui 
dem sit 
f = m{gx+hy)\ F = M{GX + HY)* 
ita ut g ad h, G ad II sint primi. Tum dico, si forma f implicet formam F, 
m aut ipsi M aequalem esse aut saltem ipsum M metiri et quotientem esse qua 
dratum; et vice versa si — sit quadratum integrum, F contentam esse sub f. 
Si enim f per substitutionem 
x = aX + dF, y = yX+ 8Y 
in F transire supponitur, erit 
*('GfX+HYf = C(«y + r*)X+fo+8W 
unde facile sequitur ~ esse quadratum. Ponatur — e e, eritque 
e{GX+HY) = ± (( a ^+yA)X + (% + SA)F), i. e. 
-j- eG = ag-\-yh, + eH = fig-\-hh 
si itaque @, Q ita determinantur ut sit 0$ G-\-fpH = 1, erit 
4~ e = (&[ag-\-y h) + § (d <7 + <^)» adeoque integer. Q. E. P. 
Si vero, vice versa, supponitur, — esse quadratum integrum — e e, forma f 
implicabit formam F. Scilicet integri a, d, y, d ita poterunt determinari ut fiat