SOLUTIO AEQUATIONUM INDETERMINATARUM. 
217 
V = M— 2U + 2N), q = £(— &t-\-S)u) 
P = — ¿r(2U + S3w), q = — + 
ita ut multitudo omnium formularum nunc quater maior sit quam antea, t et u 
vero non amplius omnes numeros aequationi tt—[bb— ac)uu — mm satisfa 
cientes exprimant, sed positivos tantum. Quaevis harum formarum itaque seorsim 
considerari, et qui valores ipsorum t, u praebeant valores integros ipsorum x, y, 
investigari debebit. 
Ex formula 
P = k , ? = i.(gi + S«) .... [1] 
sequuntur valores ipsorum x, y hi: 
t -f- 95 u + m c d — mbe dt + SD u + m a e — mbd 
m{bb — ac) ’ ^ m[bb — ac) 
Supra vero ostendimus, omnes valores (positivos) ipsorum t constituere progres 
sionem recurrentem t°, t', t" etc., similiter valores respondentes ipsius u quoque 
seriem recurrentem formare u°, u, ii' etc.; praeterea assignari posse numerum p 
talem, ut secundum modulum quemcunque datum fiat 
t? = t°, ¿ p+1 = t', ¿ p+2 = fi'etc., u [J = u°, v? +l = uetc. 
Pro hoc modulo accipiemus numerum m {b b — ac), designabimusque brevitatis 
gratia valores ipsorum x, y qui prodeunt ponendo t = t°, u — u°, et quibus 
tribuemus indicem 0, per x°, y°; similiterque eos qui prodeunt faciendo t — t', 
u = u, per x, y quibus tribuemus indicem 1, etc. Tunc nullo negotio perspi 
cietur, si x h , y h fuerint numeri integri atque p rite determinatus, etiam x h *“ p , 
y h + P; nec non x h + 2 ', y h + 2p et generaliter x h+k K y h + k? , integros fore; et 
contra si x h vel y h sit fractus, etiam x h + k? , vel y h ^ ]ip fractum fore. Hinc 
facile concluditur, si valores ipsorum x, y, quibus indices 0, 1, 2 — p — 1 com 
petunt, evolvantur, et pro nullo horum indicum tum x, tum y integer sit, nullum 
omnino indicem dari, pro quo tum x, tum y valores integros recipiant, in quo 
casu ex formula [1] nulli valores integri ipsorum x, y deduci poterunt. Si vero 
inter illos indices aliqui sunt, puta ¡x, ¡fi, p" etc. quibus valores integri ipsorum 
x, y respondent, omnes valores integri ipsorum x, y, qui quidem ex formula [1] 
obtineri possunt, ii erunt, quorum indices sub aliqua formularum p-j-A’p, p-(-A’p, 
28