218 
DE FOEMIS SECUNDI GRADUS. 
¡x"-\-k[j etc. sunt contenti, denotante k indefinite omnes numeros integros po 
sitivos, inclusa etiam cifra. 
Formulae reliquae sub quibus valores ipsorum p, q contenti sunt, prorsus 
eodem modo sunt tractandae. Si contingeret, ut ex nulla omnium harum for 
mularum valores integri ipsorum x, y obtineantur, aequatio proposita in integris 
nullo prorsus modo solvi posset; quoties vero revera est solubilis, omnes solutio 
nes in integris per praecepta in praecc. tradita exhiberi poterunt. 
218. 
Quando bb— ac est numerus quadratus atque M— 0, omnes valores ip 
sorum p, q comprehensi erunt sub duabus huiusmodi formulis p = %iz, q=^dz\ 
p — Wz, q — 23^, ubi z indefinite designat quemvis numerum integrum, SI, S3, 
SI', -S3' vero sunt integri dati, quorum primus cum secundo, tertius cum quarto 
divisorem communem non habent (art. 212), Omnes itaque valores integri ipso 
rum x, y ex formula prima oriundi contenti erunt sub formula [1] 
%z-\-cd— be iBs+ae — bd 
^ bb — ac ’ bb — ac 
omnesque reliqui ex formula secunda oriundi sub hac [2] 
Ws + c d — bc 23'z -f- a e — bd 
bb — ac T y bb — ac 
Sed quoniam utraque formula etiam valores fractos praebere potest (nisi 
bb — ac=l), opus est ut eos valores ipsius z, qui tum ipsum x tum ipsum y 
integrum reddunt, a reliquis in utraque formula separemus; attamen sufficit pri 
mam solam considerare, quum pro altera prorsus eadem methodus adhibenda sit.. 
Quoniam , 33 inter se primi sunt, duos numeros a, f) ita determinare 
licebit, ut fiat a5i-j-B33 = 1. Quo facto habetur 
(aa?-f-hy) {bb — ac) — z-{-a[cd—be)-\-h[ae— bd) 
unde statim patet, omnes valores ipsius z qui valores integros ipsorum x, y pro 
ducere possint, necessario numero a (b e — c d) -\-'h(bd — a e) sec. mod. bb — ac 
congruos, sive sub formula [bb — a c) z -j- a [be — cd)-\-h[bd — a e) contentos esse 
debere, designante z indefinite numerum integrum. Hinc facile loco formulae 
[1] obtinemus sequentem