230
DE FORMIS SECUNDI GRADUS.
bilis, patet, si pro x assumatur numerus quicunque per p non divisibilis, pro y
vero numerus per p divisibilis, valorem formae F fieri non divisibilem per p;
quando c per p non est divisibilis, idem obtinetur tribuendo ipsi x valorem di
visibilem ipsique y valorem non divisibilem; denique quando tum a tum c per
p sunt divisibiles, adeoque 2 b non divisibilis, forma F valorem per p non divi
sibilem induet tribuendo tum ipsi x tum ipsi y valores quoscunque per p non
divisibiles. Q. F. D.
Manifestum est, theorema etiam pro formis improprie primitivis locum ha
bere, si modo non fuerit p = 2.
Quoniam plures huiusmodi conditiones simul consistere possunt, ut idem
numerus per quosdam numeros primos datos divisibilis sit, per alios non divisibi
lis (v. art. 32): facile perspicitur, numeros x, y infinite multis modis ita deter
minari posse, ut forma primitiva axx-\-2bxy-\-cyy valorem per quotcunque
numeros primos datos non divisibilem adipiscatur, a quibus unice excludendus est 2,
quoties forma est improprie primitiva. Hinc patet, theorema generalius ita pro
poni posse: Per formam quamcunque primitivam repraesentari possunt infinite multi
numeri, qui ad numerum quemcunque datum (imparem, quando forma est improprie
primitiva) sint primi.
229.
Theorema. Sit F forma primitiva determinantis D, p numerus primus ip
sum D metiens: tum numeri per p non divisibiles qui per formam F repraesentari
possmit, in eo convenient, ut vel omnes sint residua quadratica ipsius p, vel omnes non-
residua.
Dem. Sit F — [a, b, c); m, m duo numeri quicunque per p non divisibi
les qui per formam F repraesentari possunt, scilicet
m = ag g -\-2bgh-\- chh, m = ag' g' -\-2bg' /i -\-cUK
Tum erit
mm = [ag g' -\-b[gh' -\-hg)-\-chh' ) 2 —D{gh’— hgf
quare mm quadrato congruus erit secundum modulum D, adeoque etiam secun
dum p, i. e. mm erit residuum quadraticum ipsius p. Hinc sequitur, aut utrum
que m, m esse residuum quadraticum ipsius p, aut utrumque non-residuum.
Q. E. D.