230 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
bilis, patet, si pro x assumatur numerus quicunque per p non divisibilis, pro y 
vero numerus per p divisibilis, valorem formae F fieri non divisibilem per p; 
quando c per p non est divisibilis, idem obtinetur tribuendo ipsi x valorem di 
visibilem ipsique y valorem non divisibilem; denique quando tum a tum c per 
p sunt divisibiles, adeoque 2 b non divisibilis, forma F valorem per p non divi 
sibilem induet tribuendo tum ipsi x tum ipsi y valores quoscunque per p non 
divisibiles. Q. F. D. 
Manifestum est, theorema etiam pro formis improprie primitivis locum ha 
bere, si modo non fuerit p = 2. 
Quoniam plures huiusmodi conditiones simul consistere possunt, ut idem 
numerus per quosdam numeros primos datos divisibilis sit, per alios non divisibi 
lis (v. art. 32): facile perspicitur, numeros x, y infinite multis modis ita deter 
minari posse, ut forma primitiva axx-\-2bxy-\-cyy valorem per quotcunque 
numeros primos datos non divisibilem adipiscatur, a quibus unice excludendus est 2, 
quoties forma est improprie primitiva. Hinc patet, theorema generalius ita pro 
poni posse: Per formam quamcunque primitivam repraesentari possunt infinite multi 
numeri, qui ad numerum quemcunque datum (imparem, quando forma est improprie 
primitiva) sint primi. 
229. 
Theorema. Sit F forma primitiva determinantis D, p numerus primus ip 
sum D metiens: tum numeri per p non divisibiles qui per formam F repraesentari 
possmit, in eo convenient, ut vel omnes sint residua quadratica ipsius p, vel omnes non- 
residua. 
Dem. Sit F — [a, b, c); m, m duo numeri quicunque per p non divisibi 
les qui per formam F repraesentari possunt, scilicet 
m = ag g -\-2bgh-\- chh, m = ag' g' -\-2bg' /i -\-cUK 
Tum erit 
mm = [ag g' -\-b[gh' -\-hg)-\-chh' ) 2 —D{gh’— hgf 
quare mm quadrato congruus erit secundum modulum D, adeoque etiam secun 
dum p, i. e. mm erit residuum quadraticum ipsius p. Hinc sequitur, aut utrum 
que m, m esse residuum quadraticum ipsius p, aut utrumque non-residuum. 
Q. E. D.