ORDINUM PARTITIO IN GENERA. 
231 
Simili modo probatur, quando determinans D per 4 sit divisibilis, omnes 
numeros impares per F repraesentabiles vel esse = 1. vel omnes = 3 (mod, 4). 
Scilicet productum e duobus numeris talibus in hoc casu semper erit residuum 
quadr. ipsius 4, adeoque = 1 (mod. 4); quare vel uterque erit = 1 , vel uter 
que = 3. 
Denique quando D per 8 est divisibilis, productum e duobus numeris qui 
buscunque imparibus, qui per F repraesentari possunt, erit R. Q. ipsius 8 et 
proin = 1 (mod. 8). Quare in hoc casu omnes numeri impares per F repraesen 
tabiles vel erunt = 1, vel omnes =3, vel omnes =5, vel omnes = 7 (mod. 8). 
Ita e.g. quum per formam (10, 3, 17) repraesentari possit numerus 10 
qui est N. R. ipsius 7: omnes numeri per 7 non divisibiles, qui per formam il 
lam repraesentari possunt, non-residua ipsius 7 erunt.— Quum —3 per for 
mam (—3, 1, 49) repraesentabitis et sec. mod. 4 sit =1, omnes numeri im 
pares per formam hanc repraesentabiles perinde se habebunt. 
Ceterum, si ad propositum praesens necessarium esset, facile demonstrare 
possemus, numeros per formam F repraesentabiles ad nullum numerum primum 
qui ipsum D non metiatur, talem relationem fixam habere, sed promiscue tum 
residua tum non-residua numeri cuiusvis primi ipsum D non metientis per for 
mam F repraesentari posse. Contra respectu numerorum 4 et 8 analogon quod 
dam etiam in aliis casibus locum habet, quos praeterire non possumus. 
I. Quando determinans _D formae primitivae F est = 3 (mod. 4): omnes 
numeri impares, per formam F repraesentabiles, erunt vel =1, vel omnes = 3 
[mod, 4,). Si enim m,m sunt duo numeri per F repraesentabiles, productum 
mm eodem modo ut supra sub formam pp— I)qq redigi poterit. Quando ita 
que uterque m, m est impar, necessario alter numerorum p, q par erit, alter im 
par adeoque alterum quadratorum pp, qq, = 0, alterum = 1 (mod. 4). Unde 
facile deducitur, pp — F)qq certo esse =l(mod. 4), adeoque aut utrumque 
m, m, =1, aut utrumque = 3 (mod. 4). Ita e.g. per formam (10, 3, 17) alii 
numeri impares quam qui sunt formae 4 n -f- 1 repraesentari nequeunt. 
II. Quando determinans D formae primitivae F est = 2 [mod. 8): omnes 
numeri impares, per formam F repraesentabiles, erunt vel partim = 1 partim = 7, 
velpartim «— 3 partim =5[mod,S). Ponamus enim m, m esse duos numeros