232
DE FORMIS SECUNDI GRADUS.
impares per F repraesentabiles, quorum igitur productum mm sub formam
pp— E)qq redigi poterit. Quando ergo uterque m,m est impar, necessario p
impar esse debebit (quia D par), adeoque pp~ 1 (mod. 8); qq vero erit vel =0
vel =1 vel =4, et proin Dqq vel = 0 vel = 2. Hinc mm =pp — Dqq
iit vel = 1 vel = -7 (mod. 8); si itaque m est vel = 1 vel = 7 , etiam m
erit vel = 1 vel = 7; si vero m est vel = 3 vel = 5, etiam m erit vel = 3
vel = 5. E. g. omnes numeri impares per formam (3, 1, 5) repraesentabiles
sunt aut =3 aut =5 (mod. 8), nullique numeri formae 8w-f-l aut 8w-f-7
per formam illam repraesentari possunt.
III. Quando determinans D formae primitivae F est =6 [mod. 8): per
formam hanc repraesentari possunt numeri impares vel tales tantum qui sunt =1 et
= 3[mod.8), vel tales tantum qui sunt = 5 et = 7 [mod. 8). Demonstrationem
praecedenti (in II) omnino similem quisque nullo negotio evolvere poterit. Ita
e. g. per formam (5, 1, 7) unice tales numeri impares possunt repraesentari qui
sunt aut eee 5 aut = 7 (mod. 8).
230.
Omnes igitur numeri qui per formam primitivam datam F determinantis
D repraesentari possunt, relationem fixam habebunt ad singulos divisores primos
ipsius D (per quos quidem ipsi non sunt divisibiles), numeri impares vero qui per
F possunt repraesentari, in quibusdam casibus etiam ad numeros 4 et 8 relatio
nem fixam habebunt, scilicet ad 4 , quoties D aut = 0 aut = 3 (mod. 4), et
ad 8, quoties D aut =0, aut =2 aut =6 (mod. 8)*). Talem relationem ad
singulos hos numeros, characterem seu characterem particularem formae F vocabi
mus sequentique modo exprimemus: Quando sola residua quadratica numeri primi
p per formam F repraesentari possunt, tribuemus ipsi characterem 11 p, in casu
opposito characterem Np\ similiter scribemus 1, 4, quando alii numeri impares
per formam F repraesentari nequeunt nisi qui sunt = 1 (mod. 4), unde statim
liquet quales characteres exprimantur per signa 3,4; 1,8; 3,8; 5,8; 7,8.
Denique formis per quas numeri impares tales soli repraesentari possunt qui sec.
*) Pro determinantibus per 8 divisibilibus relatio ad numerum 4 negligl potest, quoniam in hoc casu sub
relatione ad 8 iam est contenta.