THEOREMA FUNDAMENTALE. 
293 
Sect. praec. adhibitis omnino est diversa, elegantiaque his neutiquam inferior 
aestimanda videtur. Determinantem — 4 autem, et qui sunt numerorum primo 
rum potestates, quum nihil novi doceant, praeteribimus. 
Pro determinante — 1 itaque nulla forma positiva datur, cuius character sit 
3,4; pro determinante +2 nulla omnino forma, cuius character sit betb, 8; 
pro determinante —2 nulli formae positivae competet character 5 et 7, 8; pro 
determinante -f-p, si p est numerus »primus formae 4^-j-l, vel pro determi 
nante —p, si p est numerus primus formae 4 ^ —(— 3 , nulli formae pr. pr. (posi 
tivae in casu post.) competet character Np. Hinc theoremata Sect. praec. se 
quenti modo demonstramus: 
I. Est —1 non-residuum cuiusvis numeri [(positivi) formae 4w-(-3. Si 
enim —1 residuum talis numeri A esset, faciendo —1 = BB — AC, foret 
[A, B, C) forma positiva det. —1, cuius character 3, 4. 
II. Est —1 residuum cuiusvis numeri primi p formae 4w-f-l. Nam 
character formae (—1, 0 ,p), sicuti omnium proprie primitivarum det. p, erit 
Rp, adeoque — 1 Rp. 
III. Tum -f- 2 tum — 2 est residuum cuiusvis numeri primi p formae 
Sw-j-l. Nam vel formae (8, 1, ^~), (—8,1,^^), vel hae (8, 3, (—8,3,~^) 
erunt proprie primitivae (prout n impar vel par), adeoque ipsarum character Rp: 
hinc -f- 8 Rp et — 8 Rp, unde etiam 2 Rp, — 2 Rp. 
IV. Est -(-2 non-residuum cuiusvis numeri formae 8 ^ —|— 3 aut 8 /i —|— 5. 
Si enim esset residuum talis numeri A, daretur forma (A, B, C) determinantis 
-f- 2, cuius character 3 et 5, 8. 
V. Simili modo — 2 est non-residuum cuiusvis numeri formae 8 n -f- 5 
aut Sw-j-7, alioquin enim daretur forma [A, B, C) determinantis —2, cuius 
character beti, 8. 
VI. Est —2 residuum cuiusvis numeri primi p formae S/a —f— 3. Hanc 
propositionem per methodum duplicem demonstrare licet. Primo, quum per IV 
sit -f- 2 Np, atque per I, — 1 Np, necessario erit — 2 Rp. Demonstratio se 
cunda petitur ex consideratione determinantis -f- 2p, pro quo quatuor characteres 
sunt assignabiles, puta Rp, iet%, 8; Rp, betl,&; Np, I et‘d, 8; Np, beti, 8, 
ex quibus igitur saltem duobus nulla genera respondebunt. lam formae