326 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
nullo negotio patebit, f per substitutionem [S) transire in g, atque aequationi 
(Q) satisfactum esse. Q. E. D. 
283. 
Ex his principiis deducitur methodus sequens, omnes repraesentationes 
proprias formae binariae 
cp = ptt-\- 2qtu-\-ruu 
determinantis D per ternariam f determinantis A inveniendi. 
I. Eruantur omnes valores diversi [i. e. non-aequivalentes) expressionis 
\jA(p, —q, r)[mod.D). Hoc problema pro eo casu, ubi cp est forma primitiva 
atque A ad D primus, supra (art. 233) solutum est, casusque reliqui ad hunc 
facillime reducuntur, quam tamen rem fusius hic explicare brevitas non permittit. 
Observamus tantummodo, quoties A ad D primus sit, expressionem A [p, —q, r) 
residuum quadraticum ipsius D esse non posse, nisi cp fuerit forma primitiva. 
Supponendo enim 
A p = BB — DA, —A q = BB'—BB", Ar = B'B'—DA 
iit 
[BB'— A</) 2 = (Di'+Ap)(Di + Ar) 
hinc, per evolutionem et substituendo qq—pr pro B, iit 
(qq—pr)[B"B"—A A) — A (H_p + 2^"^-)-HV)-}-AA = 0 
unde facile concluditur, si p, q, r divisorem communem haberent, hunc etiam 
ipsum A A metiri; tunc vero A ad D primus esse non posset. Quare p, q, r 
divisorem communem habere nequeunt, sive cp erit forma primitiva. 
II. Designemus multitudinem horum valorum per m, supponamusque, 
inter eos reperiri n valores, qui sibi ipsis oppositi sint (statuendo n— 0, quando 
tales non adsunt). Tunc manifestum est, ex m — n reliquis valoribus binos 
semper oppositos fore (quoniam cuncti valores complete haberi supponuntur); 
reiiciatur e binis quibusque valoribus oppositis unus ad libitum, remanebuntque 
omnino valores i{m-\-n). Ita e. g. ex octo valoribus expr. \/—1 (19, — 3,41)