FORMAE TERNARIAE.
329
impropriae numeri H per formam F sequuntur, cp per f manifesto nequit im
proprie repraesentari, nisi D factores quadratos implicet. Ponamus, omnia qua
drata ipsum D metientia (praeter 1) esse ee, ee, e e etc. (quorum multitudo fi
nita erit, quia supponimus, non esse D —= 0), praebebitque quaelibet repr. impr.
formae cp per f repraesentationem numeri D per F, in qua valores indetermina
tarum aliquem e numeris c, e, e etc. pro divisore communi maximo habebunt;
hoc respectu brevitatis caussa quamvis repr. impr. formae cp ad divisorem quadra
tum ee vel e e vel e e etc. pertinere dicemus. lam omnes repr. formae cp ad eun
dem divisorem quadratum datum ee (cuius radicem e positive acceptam supponi
mus) pertinentes per regulas sequentes inveniuntur, ex quarum demonstratione
synthetica, propter brevitatem hic praeferenda, analysis per quam evolutae sunt,
facile restitui poterit.
Primo eruantur omnes formae binariae determinantis ~ , quae in formam cp
transeunt per substitutionem propriam talem T = v.t'-\-'ku, U =. \>.u, designan
tibus T, U indeterminatas talis formae; t, u indet, formae cp; x, p integros
positivos (quorum productum itaque =e); X integrum positivum minorem quam
p (sive etiam cifram). Hae formae, cum transformationibus respondentibus, ita
inveniuntur:
Aequetur x successive singulis divisoribus ipsius e positive acceptis (inclu
sis etiam 1 et e), fiatque p = |; pro singulis valoribus determinatis ipsorum x,
p tribuantur ipsi X omnes valores integri a 0 usque ad p — 1, quo pacto omnes
transformationes certo habebuntur. lam forma, quae per quamvis substitutionem
T = y.t-{-\u, U = \xu in cp transit, invenitur investigando formam, in quam cp
transit per hanc t = --T—^U, u = jU; sic formae singulis transformationi
bus respondentes obtinebuntur; sed ex omnibus his formis eae tantum retinendae
sunt, in quibus omnes tres coefficientes evadunt integri*).
Secundo ponamus 0 esse aliquam ex hisce formis, quae in cp transeat per
subst. T=xi + Xw, U = pw; investigentur omnes repraesentationes propriae
*) Si de hoc problemate fusius agere hic liceret, solutionem admodum contrahere possemus. Id statim
obvium est, pro 7. alios divisores ipsius e accipere non esse necessarium, nisi quorum quadratum metiatur
coefficientem primum formae cp. Ceterum hoc problema, ex quo etiam solutiones simpliciores probi, artt. 213,
21 4.deduci possunt, alia occasione idonea resumere nobis reservamus.
42