346 
DE FORMIS TERNARIIS SECUNDI GRADUS. 
At e theoria formarum binariarum facile deducitur, e fore vel =0 vel = 2 [X ~\ 
prout — 1 sit non-residuum vel residuum quadraticum ipsius M, nec non e — 0 
vel = 2 [J '“ 1 , prout —2 non-residuum vel residuum ipsius M, denotante g 
multitudinem factorum primorum (imparium) ipsius M (v. art. 182; expositionem 
uberiorem hic supprimimus). Hinc facile colligitur, fore 
E = 2 ^~ 2 k, situm —1 tum —2 sit N. E. ipsius M; 
E = 2 2 (A* —}— 2), si uterque numerus sit residuum; denique 
E = 2 2 (A- —j— 1), si alter residuum sit alter non-residuum. 
In casibus exclusis M= 1 et M= 2, haec formula praeberet E = -f-, quum esse 
debeat E = 1; pro M = 3 autem recte provenit E = 1 , exceptionibus se 
mutuo compensantibus. 
Si itaque M est numerus primus, fit g = 1 , adeoque E = \ [k 2) 
quando M=1 (mod. 8); E = T(^+l) quando M= 3 aut ee 5. Haecce theo 
remata specialia ab ili. Le Gendre per inductionem detecta et in commentatione 
egregia iam saepius laudata Ilist. de VAc. de Paris 1785 p. 5 30 sqq. prolata fue 
runt, etsi sub forma aliquantum diversa, cuius rei ratio imprimis in eo est sita, 
quod aequivalentiam propriam ab impropria non distinxit, et proin classes oppo 
sitas commiscuit. 
II. Ad inventionem omnium discerptionum numeri M in terna quadrata 
(sine div. comm.) non opus est, omnes repraesentationes proprias omnium forma 
rum cp, cp', cp" eruere. Primo enim facile confirmatur, omnes (48) repraesenta 
tiones formae cp ad eundem valorem. expr. \J—[p, —q, r) pertinentes (statuendo 
cp = (p, q, ?•)} discerptionem eandem numeri M praebere, adeoque sufficere, si 
una ex illis habeatur, sive quod eodem redit, si tantummodo omnes diversae 
discerptiones*) formae cp in terna quadrata conscriptae sint, et perinde de reli 
quis cp', cp" etc. Dein si cp est e classe non ancipite, eam formam, quae e classe 
opposita electa est, omnino praeterire licebit, sive e binis classibus oppositis uni 
cam considerare sufficit. Quum enim prorsus arbitrarium sit, quaenam forma e 
singulis classibus eligatur, supponamus e classe opposita ei in qua est cp eligi 
formam ipsi cp oppositam, quae sit = cp'. Tunc nullo negotio perspicitur, si 
*) Semper subintelligendum propriae, si hanc expressionem a repraesentationibus ad discerptiones 
transferre lubet.