SOLUTIO AEQUATIONIS Cl XX-j- hi/?/ CZZ — 0. 355
Sect. praec. conveniunt, inde derivare, quam ad hunc scopum non idoneam nobis
videri iam supra declaravimus, art. 151. Hic itaque locus erit, hanc demonstra
tionem (per se valde elegantem) breviter exponendi iudiciique nostri rationes ad-
iungendi. Praemittitur sequens observatio: Si numeri a, b, c omnes sunt =1
[mod. 4), aequatio aocx -\-byy -f- czz == 0 ... (Q) solubilis esse nequit. Facillime
enim perspicitur, valorem ipsius axx-\-byy-\-czz necessario in hoc casu fieri
vel =1, vel =2, vel = 3 (mod. 4), nisi omnes x,y,z simul pares accipian
tur ; si itaque Q solubilis esset, hoc aliter fieri non posset quam per valores pares
ipsorum x, y, z, Q. E. A., quoniam valores quicunque aequationi Q satisfacien
tes etiamnum satisfaciunt, si per divisorem communem maximum dividuntur, unde
necessario ad minimum unus impar prodire debet. Iam casus diversi theorematis
demonstrandi ad sequeiltia momenta referuntur :
I. Designantibus p, q numeros primos formae 4 n -f- 3 (positivos inae
quales), nequit simul esse pRq, qRp. Si enim possibile esset, manifestum est
statuendo 1 = a, —p = b, —q — c, omnes conditiones ad resolubilitatem
aequationis axx -J- byy -f- czz = 0 adimpletas esse (art. 294); eadem vero per
observationem praec, resolutionem non admittit; quare suppositio consistere ne
quit. Hinc protinus sequitur propositio 7 art. 131.
II. Si p est numerus primus formae 4 n 1, q numerus primus formae
4w+3, nequit simul esse qRp, pNq. Alioquin enim foret —pRq, atque
aequatio xx-\-pyy — qzz — 0 resolubilis, quae per obs. praec. resolutionem
respuit. Hinc derivantur casus 4 et 5 art. 131.
III. Si p, q sunt numeri primi formae 4w-J- 1, nequit simul esse pRq,
qNp. Accipiatur alius numerus primus r formae An-{- 3, qui sit residuum ip
sius q et cuius non-residuum sit p. Tunc erit per casus modo (II) demonstratos
qRr, rNp. Si itaque esset pRq, qNp, foret qrRp, prRq, pqNr et pròni
— pqRr. Hinc aequatio pxx qyy — rzz = 0 resolubilis esset contra obs.
praec. ; quare suppositio consistere nequit. Flinc sequuntur casus 1 et 2 art. 131.
Concinnius hic casus sequenti modo tractatur. Designet r numerum pri
mum formae 4 3, cuius non-residuum sit p. Tunc erit etiam rNp, adeo-
que (supponendo pRq, qNp) qrRp, porro —pRq, —pRr et proin etiam
— pRqr; quare aequatio xx-\-pyy — qrzz = 0 resolubilis esset contra obs.
praec. Hinc etc.
IV. Si p est numerus primus formae 4« -)- 1, q primus formae 4w-)-^»
45*
