CONVERSIO FRACTIONUM COMMUNIUM IN DECIMALES.
383
si l, m sec. n incongrui), has certo in primis k figuris convenire non posse, sed
saltem in & ta discrepare debere.
' 313.
Problema. Dato denomina,tore fractionis ~ atque primis k figuris ex ipsius
mantissa, invenire numeratorem m, quem ipso n minorem supponimus.
Sol. Considerentur illae k figurae tamquam numerus integer, qui per n
multiplicetur, productumque per IO 7 " dividatur (sive k ultimae figurae resecen-
tur). Si quotiens est integer (sive figurae resectae cifrae), ipse manifesto erit nu
merator quaesitus atque mantissa data completa; sin minus, numerator quaesitus
erit integer proxime maior, sive ille quotiens unitate auctus, postquam figurae de-
cimales sequentes reiectae sunt. Patio huius regulae tam facile ex iis, quae
ad finem art. praec. observavimus, cognoscitur, ut explicatione uberiori opus
non sit.
Ex. Si constat, duas figuras primas mantissae fractionis, cuius denomina
tor 23, esse 69, habemus productum 23.69 = 1587, a quo duas ultimas figu
ras abiiciendo, unitatemque addendo, numerator quaesitus prodit =16.
314.
Inchoamus a consideratione talium fractionum, quarum denominatores sunt
numeri primi vel numerorum primorum potestates, posteaque reliquas ad has re
ducere ostendemus. Et primo statim observamus, mantissam fractionis ~ (cuius
numeratorem a per numerum primum p non divisibilem esse semper supponimus)
finitam esse, atque ex |x figuris constare, si p = 2 aut = 5; in casu priori
haec mantissa, tamquam numerus integer considerata, erit = 5^a, in posteriori
= 2 [X a. Haec tam obvia sunt, ut expositione non egeant.
Si vero p est alius numerus primus, 10 r a per p [X numquam divisibilis erit,
quantumvis magnus accipiatur r, unde sponte sequitur, mantissam fractionis
F = ^ necessario in infinitum progredi. Supponamus, 10 e esse potestatem in
fimam numeri 10, quae unitati secundum modulum pP congrua fit (Conf. Sectio
III, ubi ostendimus, e vel numero (_p — 1 )jt/'~ 1 aequalem vel ipsius partem ali-
quotam esse), perspicieturque facile, etiam 10 e a fore numerum, in serie 10a, 100a
lOOOaetc. primum, qui ipsi a secundum eundem modulum sit congruus. lam
quum per art. 312 mantissae fractionum i -~ . . . ~~ oriantur, demendo man-
