384 VARIAE DISQUISITIONUM PRAECEDENTIUM APPLICATIONES.
tissae fractionis F figuram primam, duas ... e figuras primas resp., manifestum
est, in hac mantissa post primas e figuras, neque prius, easdem iterum repeti.
Has primas e figuras, e quibus infinities repetitis mantissa formata est, periodum
huius mantissae sive fractionis F vocare possumus, patetque, magnitudinem peri
odi, i. e. multitudinem figurarum, e quibus constat, quae est ~e, a numeratore
a omnino independentem esse, et per solum denominatorem determinari. Ita e. g.
periodus fractionis T V est 09, fractionis f periodus 4 28571*).
315.
Simulae igitur fractionis alicuius periodus habetur, mantissa ad figuras quot-
cunque produci poterit. Porro patet, si fuerit h = 10 l a (mod.y A ), periodum frac
tionis oriri, si primae X figurae periodi fractionis F (supponendo \<^e quod
licet) reliquis e — X postscribantur, adeoque cum periodo fractionis F simul pe
riodos omnium fractionum haberi, quarum numeratores ipsis 10a, 100«, 1000« etc.
secundum denominatorem p^ sint congrui. Ita e. g. quum 6 = 3.10 2 (mod. 7 ),
periodus fractionis -f statim e periodo fractionis -f fit 857142.
Quoties itaque pro modulo p [J ' numerus 10 est radix primitiva (artt. 57, 89),
e periodo fractionis ~ protinus deduci poterit periodus cuiusvis alius fractionis
p, (cuius numerator m per p non divisibilis), tot figuras ab illa a laeva resecando
et ad dextram restituendo, quot unitates habet index ipsius m, numero 1 0 pro
basi accepto. Hinc perspicuum est, quamobrem in hocce casu numerus 10 in ta
bula I semper pro basi acceptus sit (v. art. 7 2).
Quando vero 10 non est radix primitiva, e periodo fractionis \ a earum tan
tummodo fractionum periodi exscindi possunt, quarum numeratores alicui potes
tati ipsius 10 secundum p^ sunt congrui. Sit 1 0 e potestas infima ipsius 10 uni
tati secundum p v ' congrua, [p—\)p v ~ i = ef, atque talis radix primitiva r pro
basi accepta, ut index numeri 10 fiat f (art. 71). In hoc itaque systemate nu
meratores fractionum, quarum periodi e periodo fractionis ~ exscindi possunt,
habebunt indices f 2f of. . . . ef—f ; simili modo e periodo fractionis de
duci possunt periodi fractionum, quarum numeratores lOr, 1 OOr, lOOOretc. in
dicibus f—(— 1, 2/* —|— 1, 3/*-}- 1 etc. respondentes; e periodo fractionis cum nume
ratore rr (cuius index 2) deducentur periodi fractionum cum numeratoribus quo-
*) Cei. Robertson periodi initium et finem duobus punctis figurae primae et ultimae suprascriptis indicat
{Theory of circulahng fractioris, Philos. Trans. 17B9 p. 207), quod hic non necessarium putamus.
