406 
VARIAE DISQUISITIONUM PRAECEDENTIUM APPLICATIONES. 
quadrata divisibilia aeque utilia sunt ac parva; omniaque residua per methodos 
sequentes suppeditata a fractoribus suis quadratis statim liberata supponemus. 
Secundo si duo pluresve numeri sunt residua, etiam productum ex ipsis residuum 
erit. Combinando hanc observationem cum praec., persaepe e pluribus residuis, 
quae non omnia sunt satis simplicia, aliud admodum simplex deduci potest, si 
modo illa multos factores communes implicant. Hanc ob caussam talia quoque 
residua valde sunt opportuna, quae e multis factoribus non nimis magnis com 
posita sunt, convenietque omnia statim in factores suos resolvere. Vis harum 
observationum melius per exempla usumque frequentem quam per praecepta per 
cipietur. 
I. Methodus simplicissima, iisque, qui per frequentem exercitationem iam 
aliquam dexteritatem sibi conciliaverunt, commodissima, consistit in eo, ut M 
aut generalius multiplum quodcunque ipsius M quomodocunque in duas partes 
decomponatur kM = a-\-h (sive utraque sit positiva sive altera positiva altera 
negativa), quarum productum signo mutato erit residuum ipsius M; erit enim 
— ab = aa = bb{mod. M), adeoque —abUM. Numeri a, b ita accipiendi sunt, 
ut productum per quadratum magnum divisibile quotiensque vel parvus vel sal 
tem in factores non nimis magnos resolubilis evadat, quod semper non difficile 
effici poterit. Imprimis commendandum est, ut pro a accipiatur vel quadratum, 
vel quadratum duplex, vel triplex etc. a numero M numero vel parvo vel in 
factores commodos resolubili discrepans. Ita e. g. invenitur 997331 = 999 2 — 2.5.67 
*= 994 2 —J— 5.1 1.1 3 3 = 2.706 3 -f- 3.17.3 2 == 3.57 5 3 -f 11.31.4* = 3.577* — 7.13.4 2 
= 3.578 2 —7.19.37 = 1 1.299 3 + 2.3.5.29.4 2 = 1 1.301 2 + 5 12 3 etc. Hinc ha 
bentur residua sequentia 2.5,67, —5.11, —2.3.17, —3.1 1.31, 3.7.13, 3.7.19 37, 
— 2.3.5.11,29; discerptio ultima suppeditat residuum — 5.11 quod iam habemus. 
Pro residuis —3.11.31, —2.3.5.11.29 haec adoptare possumus 3.5.31, 2.3.29, 
ex illorum combinatione cum — 5.11 oriunda. 
II. Methodus secunda et tertia inde petuntur, quod, si duae formae bina 
riae [A, B, C), (AB', C) eiusdem determinantis M, aut —M, aut generalius 
AkM, ad idem genus pertinent, numeri A A', AC, AC sunt residua ipsius 
kM: hoc nullo negotio inde perspicitur, quod numerus quivis characteristicus 
unius formae, puta m, etiam est numerus char. alterius, adeoque mA, mC,