442 
DE AEQUATIONIBUS CIECULI SECTIONES DEFINIENTIBUS. 
Productum ex (m, l) in (m, g) per art. 345 fit 
= [m, iV+l)+(iw, iV"—f— 1) -{- etc. = W 
atque hinc reducetur sub formam talem a(m, 0l)-f-y(m, g). Ad de 
terminationem coefficientium a, y observamus, primo, fieri = m 
{scilicet quoniam multitudo aggregatorum in W est = m); secundo, esse £> = y 
{hoc sequitur ex art. 350, quum productum (m, 1) x {m, gj sit functio invariabi- 
lis aggregatorum (m, 1), {m, g), e quibus aggregatum maius {n— 1, 1) composi 
tum est); tertio, quum omnes numeri JV-j-1, N"-\-1 etc. infra limites 
2 et n —j— 1 exci, contineantur, manifestum est, vel nullum aggregatum in W ad 
[m, 0) reduci adeoque esse a — 0, quando inter numeros N, N', N" etc. non 
occurrat n — 1, vel unum puta {m, n), et proin haberi a = 1, quando n—1 
inter numeros N, N', N" etc. reperiatur. Hinc colligitur, in casu priori fieri 
a = 0, b — y = in posteriori a = 1, = y = ^-{m— 1), simul hinc se 
quitur, quum numeri ^ et y necessario fiant integri, casum priorem locum ha 
bere, sive n — 1 (aut quod idem est —l) inter non-residua ipsius n non repe- 
riri, quando m sit par sive n formae 4 A* —|— 1 ; casum posteriorem vero adesse, 
sive n — 1 aut — 1 inter non-residua ipsius n reperiri, quoties m sit impar 
sive n formae 4 A* —3. Hinc productum quaesitum fit, propter (m, 0) = m, 
(m, 1) -f- [m, g) = —1, in casu priori = —in posteriori = ±{m-j- 1), adeo 
que aequatio quaesita in illo casu xx-\-x—\{n — 1) = 0, cuius radices sunt 
— in hoc vero xx-\-x-\-± (» —J— 1) = 0, cuius radices —i + 
Quaecunque itaque radix ex Q pro [1] adoptata est, differentia inter sum 
mas 2 [Sft] et 2 [9fc], ubi pro omnia residua, pro omnia non-residua qua- 
dratica positiva ipsius n infra n substituenda sunt, erit = + \Jn, pro n = 1, et 
= -jrisjn, pro n = 3 (mod. 4), Nec non hinc facile sequitur, denotante k inte 
grum quemcunque per n non divisibilem, fieri 
■ a mp v kssip , / 
I cos L cos — -4- \Jn 
n n —i— V 
. v . kmp 
et 1 sin 
v 
• mp 
sin = 0 
pro 
1 (mod. 4); contra pro ?z = 3(mod. 4) differentiam illam = 0, hanc 
*) Hoc modo nacti sumus demonstrationem novam theorematis, — i esse residuum omnium numero 
rum primorum formae 4& + 1, non-residuum omnium formae 4&+3, quod supra (art. 108, 109, 262) iam 
pluribus modis diversis comprobatum fuit. Si magis arridet, hoc theorema supponere, non necessarium erit ad 
distinctionem duorum casuum diversorum eius conditionis rationem habere, quod 6, y iam per se fiunt integri.